a) = AI²

b) điểm D như hình vẽAD=AI²/AB= constant.

Ta có PQI = PIA ( cùng chắn PI) nên ΔAPI ~ΔAIQ(g.g）

=> AP/AI = AI/AQ =>Ap.AQ= AI^2 ( không đổi )

Giả sử đt ngoại tiếp tấm giác BPQ cắt AB tại D (D khác B)

Khi đó tam giác ADP ~ tam giác AQB =>AD/AQ = AP/AB

hay AD.AB = AP.AQ=AI^2 ( không đổi) 

Do đó điểm D là điểm cố định (đpcm)

a) Xét (O) có AB là dây, OI là đường kính(gt), I là trung điểm của AB→OI vuông góc AB(ĐL)

Mà OI cố định không đổi→AI không đổi→AI² không đổi

Ta có góc nội tiếp AQI chắn cung IP; góc tạo bởi dây IP và tiếp tuyến AI là AIP chắn cung IP

→góc AQI = góc AIP = 1/2 sđ cung IP (ĐL)

Xét △API và △AIQ có góc IAP hay IAQ chung; góc AQI = góc AIP(cmt)→△API\(\sim\)△AIQ (g-g)

→AP/AI = AI/AQ(tương ứng) →AP.AQ=AI²⇒Tích AP.AQ không đổi (ĐPCM)

b) Gọi AB \(\cap\) (C₂) = D (D\(\ne\)B)

Kẻ tiếp tuyến AK của (C₂) ngoại tiếp △BPQ

Xét (C₂) có góc AQD = góc ABP ( góc nội tiếp cùng chắn cung DP)

Xét Xét △ ADQ và △ APB có góc BAP hay góc BAQ chung; góc AQD = góc ABP(cmt)

→△ ADQ $\sim$ △ APB (g-g) → AD/AP = AQ/AB (tương ứng) → AD.AB=AP.AQ=AI²(cmt)→AD.AB cố định mà AIB cố định→ D là điểm cố định → Đường tròn ngoại tiếp △BPQ luôn đi qua một điểm cố định khác B là D(ĐPCM)

\a) Xét (C) tâm O có AB là dây, I là trung điểm của AB

=> OI \(\perp\) AB ( định lý)

Xét (C₁) tâm O có OI\(\perp\)IA (cmt) => IA là tiếp tuyến của (C₁)

có IP là dây => góc AIP = góc IQP (hệ quả)

Xét ΔAIP và ΔAQI có

góc A chung

góc AIP = góc IQP ( cmt)   } => ΔAIP\(\sim\)ΔIQP

=>\(\dfrac{AI}{AQ}\)=\(\dfrac{AP}{AI}\) => AQ.AP =AI²

Có AB không đổi mà I là trung điểm của AB=> AI không đổi

=> AI² = AQ. AP không đổi

b) Gọi (C₂) là đường tròn ngoại tiếp ΔBPQ, (C₂) cắt AB tại D

Xét (C₂) có 

góc DBP = góc DQP ( góc nội tiếp cùng chắn cung DP)

Xét ΔABP và ΔAQD có

góc A chung

góc DBP = góc DQP } => ΔABP \(\sim\) Δ AQD (g.g)

=>\(\dfrac{AB}{AQ}\)=\(\dfrac{AP}{AD }\)=> AB.AD= AQ. AP mà AQ.AP không đổi (cmt)

=> AB.AD không đổi mà AB không đổi => AD không đổi => điểm D cố định

=> đường tròn ngoại tiếp ΔBPQ luôn đi qua điểm cố định D khác B

Không biết đâu

Xét (C₁) có: AIP là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung PI

                     PQI là góc nội tiếp chắn cung PI

           => AIP = PQI (hệ quả)

Xét ∆AIP và ∆AQI có:

AIP = PQI (cmt)

IAQ chung 

=> ∆≈∆ (g.g)

=> AI/AP = AQ/AI (tương ứng)

=> AI²  = AP.AQ

     mà AI cố định 

                    => AP.AQ ko đổi

A)AP .AQ=AI2( co dinh  )

B)Goi D la giao diem kha B cua AB voi (C2)

\a) Xét (C) tâm O có AB là dây, I là trung điểm của AB

=> OI ⊥ AB ( định lý)

Xét (C1) tâm O có OI⊥IA (cmt)

=> IA là tiếp tuyến của (C1)

có IP là dây

=> góc AIP = góc IQP (hệ quả)

Xét ΔAIP và ΔAQI có

góc A chung

góc AIP = góc IQP ( cmt) 

=> ΔAIP ∼ ΔIQP

=> AQ AI = AI AP => AQ.AP =AI2

Có AB không đổi mà I là trung điểm của AB

=> AI không đổi => AI2 = AQ. AP không đổi

b) Gọi (C2) là đường tròn ngoại tiếp ΔBPQ, (C2) cắt AB tại D

Xét (C2) có góc DBP = góc DQP ( góc nội tiếp cùng chắn cung DP)

Xét ΔABP và ΔAQD có

góc A chung

góc DBP = góc DQP 

=> ΔABP ∼ Δ AQD (g.g)

=> AQ AB = AD AP => AB.AD= AQ. AP

mà AQ.AP không đổi (cmt) => AB.AD không đổi mà AB không đổi => AD không đổi => điểm D cố định

=> đường tròn ngoại tiếp ΔBPQ luôn đi qua điểm cố định D khác B

a)

Xét (C) tâm O có: AB là dây, I là tđ của AB

⇒ OI ┴ AB (đl)

Xét ( C1 ) tâm O có: OI  ┴ IA (cmt) ⇒ IA là tiếp tuyến của ( C1)

_{Có: IP là dây} ⇒ góc AIP = góc IQP (hq)

_Xét △ AIP và △ AQI có : 

_{góc A chung}

_{góc AIP = góc IQP (cmt )}

⇒ △AIP ᔕ △AQI ( g.g)

⇒ \(\dfrac{AI}{AQ}=\dfrac{AP}{AI}\Rightarrow AQ.AP=AI^2\)

Có AB không đổi mà I là trung điểm của AB ⇒ AI không đổi

⇒ AI² = AQ.AP ko đổi

b)

Gọi (C₂) là đtròn ngoại tiếp △ BPQ. (C₂) cắt AB tại D

Xét C₂ có 

góc DBP = góc DQP ( góc nội tiếp cùng chắn cung DP)

Xét △ ABP và △ AQP :

góc A chung

góc  DBP = góc DQP 

⇒△ ABP ᔕ △ AQP (g.g)

\(\dfrac{AB}{AQ}=\dfrac{AP}{AD}\Rightarrow AB.AP\) mà AQ.AP ko đổi (cmt)

⇒AB.AD ko đổi mà AB ko đổi ⇒ AD không đổi ⇒ Điểm D cố định

⇒ Đường tròn ngoại tiếp △ BPQ luôn đi qua điểm cố định D khác B

a, chứng minh được AI^2= AP.AQ mà AI không đổi => AP.AQ không đổi 

b, giả sử (c2) là đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ 

gọi D là giao điểm khác B của AB với ( C2)

CM được AD.AB= AI^2 không đổi 

=> AD=AI^2/AB không đổi ( vì AB không đổi ) 

trên tia AB cố định có đoạn AD khong đổi => D cố định 

Xét (C) tâm O có AB là dây , I là trung điểm của AB                                                                       => OI vuông góc AB ( định lý )                                                                                               Xét (C1) tâm O có : OI vuông góc IA .                                                                                   => IA là tiếp tuyến của (C1) . có IP là dây =>gócAIP=IQP(hệ quả )

Xét tam giác AIP = tam giác AQI có : góc A chung , góc AIP=IQP (CMT)                                  nên tam giác AIP=IQP . => AI/AQ = AP/AI . => AQ.AP=AI^2                                                     Có AB không đổi mà I là trung điểm AB => AI không đổi                                                           => AI^2 = AP.AQ không đổi          

b) Gọi (C2) là đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ , (C2) cắt AB tại D                                      Xét (C2) có : góc DBP=DQP ( góc nội tiếp chắn cùng chắn cung DP )                                      Xét tam giác ABP và tam giác AQD có : góc A chung , góc DBP=góc DQP                              Nên tam giác ABP = tam giác AQD  (g.g)                                                                                   =>AB/AQ=AP/AD . => AD .AB = AQ.AP mà AQ.AP không đổi (chứng minh trên )

=> AB.AD không đổi mà AB không đổi => AD không đổi => điểm D cố định

=> đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ luôn đi qua điểm cố định D khác B 

a) $\Delta API\sim \Delta AIQ(g-g)\Rightarrow AP.AQ=A{I}^2=\frac{A{B}^2}{4}$ không đổi. (1)

b) Goi M là giao của (BPQ) với AB $\Rightarrow BQPM$ nội tiếp.

$\Rightarrow \widehat{APM}=\widehat{ABQ}\Rightarrow \Delta AMP\sim \Delta AQB(g-g)\Rightarrow AP.AQ=AM.AB$ (2)

Ta có 

A chung

góc API và góc AIQ (cùng chắn cung IP)

Vậy AIP =AIQ 

AP/AI=AI/AQ

AP.AQ=AI^2

do điểm D nằm trên đường thẳng AB cố định 

nên AB.AD cố định 

Mà AP.AQ=AI^2(cmt)

Suy ra AD.AB=AP.AQ=AI^2