$A=1-$$3+5-7+...+2001-2003+2005$

$=\left(1-3\right)+\left(5-7\right)+...+\left(2001-2003\right)+2005$(Có 1002 cặp)

$=\left(-2\right).1002+2005$

$=-2004+2005$

$=1$

a) \(625^4:25^7\)

\(=\left[25^2\right]^4:25^7\)

\(=25^8:25^7\)

\(=25\)

b)\(\left(100^5-89^5\right).\left(6^8-8^6\right).\left(8^2-4^3\right)\)

\(=\left(100^5-89^5\right).\left(6^8-8^6\right).\left[\left(2^3\right)^2-\left(2^2\right)^3\right]\)

\(=\left(100^5-89^5\right).\left(6^8-8^6\right).\left[2^6-2^6\right]\)

\(=\left(100^5-89^5\right).\left(6^8-8^6\right).0\)

\(=0\)

S = 101 + (-102) + 103 + (-104) + ... + 2017 + (-2018)

Khi số âm là số nguyên, ta có số số hạng là:

(2018 - 101) : 1 + 1 = 1918 (số hạng)

S = [101 + (-102)] + [103 + (-104)] + ... + [2017 + (-2018)]

S = (- 1) + (-1) + ... + (-1)

Có số số hạng là:

1918 : 2 = 959 (số hạng)

S = (-1) \(\times\) 959

S = - 959

P=(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+...+(97-98-99+100)

=0+0+...+0

=0

(1-2)+(3-4)+(5-6)+(7-8)+....+(99-100)-100000

=-1+(-1)+(-1)+(-1)+...+(-1)-100000      (có 100:2=50 số -1)

=50x(-1)-100000

=-50-100000

=-100050

Câu a:

A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + ..+ 99.101

6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 +..+ 99.101.6

6A = 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) +..+ 99.101.(103-97)

6A = 1.3.5+1.3 + 3.5.7 - 1.3.5+...+ 99.101.103-97.99.101

6A = 1.3 + 99.101.103

6A = 3 + 9999.103

6A = 3 + 1029897

6A = 1029900

A = 1029900 : 6

A = 171650

a; A = 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 +...+ 1/100^2 < 2

1 = 1 = 1

1/2^2 < 1/1.2 = 1/1 - 1/2

1/3^2 < 1/2.3 = 1/2 - 1/3

.......................

1/100^2 < 1/99.100 = 1/99 - 1/100

Cộng vế với vế ta có:

A = 1 + 1 - 1/100

A = 2 - 1/100 < 2 (đpcm)

\(A=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\)

\(A=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{99\cdot100}\)

\(A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(A=1-\frac{1}{100}\)

\(A=\frac{99}{100}< 2\left(đpcm\right)\)

a) 1 + 4 + 7 + ... + 100 

Ta có : 1 + 4 + 7 + ... + 100 ( có 34 số hạng )

        = (100 + 1) . 34 : 2 = 1717

b) 2 + 6 + 10 + ... + 102

Ta có :  2 + 6 + 10 + ... + 102 ( có 26 số hạng )

          = (102 + 2) . 26 : 2 = 1352

c) 2 + 2² + 2³ + ... + 2¹⁰⁰

Ta có : S = 2 + 2² + 2³ + ... + 2¹⁰⁰

          2S = 2.(2 + 2² + 2³ + ... + 2¹⁰⁰)

        2S = 2² + 2³ + ... + 2¹⁰⁰ + 2¹⁰¹

    2S - S = (2² + 2³ + ... + 2¹⁰⁰ + 2¹⁰¹⁾ - (2 + 2² + 2³ + ... + 2¹⁰⁰)

          S = 2¹⁰¹ - 2

a) \(1+4+7+...+100\)

Số số hạng  : (100-1) : 3 + 1= 34 (Số)

Tổng : \(\frac{34\left(100+1\right)}{2}=1717\)

b) Số số hạng : (102 - 2 ) : 4 + 1 = 26(Số)

Tổng : \(\frac{26\cdot\left(102+2\right)}{2}=1352\)

c) Đặt \(A=2+2^2+2^3+...+2^{100}\)

\(2A=2^2+2^3+2^4+...+2^{101}\)

\(2A-A=\left(2^2+2^3+2^4+...+2^{101}\right)-\left(2+2^2+2^3+...+2^{100}\right)\)

\(A=2^{101}-2\)