Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(B=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{98.99.100}\)
\(2B=\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+...+\frac{2}{98.99.100}\)
\(=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+....+\frac{1}{98.99}-\frac{1}{99.100}\)
\(=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{99.100}=\frac{1}{2}-\frac{1}{9900}=\frac{4949}{9900}\)
Giải: Đặt A = 1/1.2.3 + 1/2.3.4 + 1/3.4.5 + ... + 1/98.99.100
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp: viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau.
Ta xét:
1/1.2 - 1/2.3 = 2/1.2.3; 1/2.3 - 1/3.4 = 2/2.3.4;...; 1/98.99 - 1/99.100 = 2/98.99.100
Tổng quát: 1/n(n+1) - 1/(n+1)(n+2) = 2/n(n+1)(n+2). Do đó:
2A = 2/1.2.3 + 2/2.3.4 + 2/3.4.5 +...+ 2/98.99.100
= (1/1.2 - 1/2.3) + (1/2.3 - 1/3.4) +...+ (1/98.99 - 1/99.100)
= 1/1.2 - 1/2.3 + 1/2.3 - 1/3.4 + ... + 1/98.99 - 1/99.100
= 1/1.2 - 1/99.100
= 1/2 - 1/9900
= 4950/9900 - 1/9900
= 4949/9900.
Vậy A = 4949/9900
bài 1:
<=> \(x\left(x^2-\frac{9}{16}\right)=0\)
TH1:x=0
TH2: \(x^2-\frac{9}{16}=0\)
=> \(x^2=\frac{9}{16}\)
TH2a: \(\Rightarrow x=\frac34\)
\(TH2b:x=-\frac34\)
bài 2:
1) <=> \(2N=\frac{2}{1\cdot2\cdot3}+\frac{2}{2\cdot3\cdot4}+\cdots+\frac{2}{98\cdot99\cdot100}\)
Áp dụng công thức: \(\frac{2}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+1\right)}\) ta có:
\(2N=\left(\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{2\cdot3}\right)+\left(\frac{1}{2\cdot3}-\frac{1}{3\cdot4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{98\cdot99}-\frac{1}{99\cdot100}\right)\)
\(2N=\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{99\cdot100}\)
\(2N=\frac{4949}{9900}\)
\(\Rightarrow N=\frac{4949}{19800}\)
2) <=> \(5N=5^2+5^3+5^4+\cdots+5^{101}\)
=> \(5N-N=\left(5^2+5^3+5^4+\cdots+5^{101}\right)-\left(5+5^2+5^3+\cdots+5^{99}+5^{100}\right)\)
\(4N=5^{101}-5\)
=> \(N=\frac{\left(5^{101}-5\right)}{4}\)
sửa đề: CM: \(T=1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{11}\) ⋮40
\(T=\left(1+3+3^3+3^3\right)+\cdots+\left(3^8+3^9+3^{10}+3^{11}\right)\)
\(T=40+\cdots+3^8\left(1+3+3^3+3^3\right)\)
\(T=40+..+3^8\cdot40\)
\(T=40\left(1+\cdots+3^8\right)\)
=>T⋮40
BT2: A= \(\frac{200\left(200+1\right)}{2}=20100\)
2. \(\Rightarrow3B=1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot3+3\cdot4\cdot3+\cdots+99\cdot100\cdot3\)
\(\Rightarrow3B=1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4-1\cdot2\cdot3+3\cdot4\cdot5-\cdots+99\cdot100\cdot101-98\cdot99\cdot100\)
\(3B=99\cdot100\cdot101\)
\(3B=999900\)
\(B=333300\)
3. \(\Rightarrow4C=1\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot4\cdot4+\cdots+99\cdot99\cdot100\cdot4\)
\(4C=1\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot4\cdot5-1\cdot2\cdot3\cdot4+\cdots+98\cdot99\cdot100\cdot101-97\cdot98\cdot99\cdot100\)
\(4C=98\cdot99\cdot100\cdot101\)
\(4C=98000200\)
\(C=24500050\)
Bài 3:
Ta có:
\(\frac{1}{2^2}\)+\(\frac{1}{3^2}\)+\(...\)+\(\frac{1}{2010^2}\)<\(\frac{1}{1.2}\)+\(\frac{1}{2.3}\)+...+\(\frac{1}{2009.2010}\)
Xét:\(\frac{1}{1.2}\)+\(\frac{1}{2.3}\)+.....+\(\frac{1}{2009+2010}\)=\(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2010}\)=\(1-\frac{1}{2010}\)<1
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+....+\frac{1}{2010^2}< 1\)
\(\)Vậy \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2010^2}< 1\)
ta tách một số n như sau
\(n^2=n\cdot n=n\left(n-1+1\right)=n\left(n-1\right)+n\)
=> \(1^2=1\cdot0+1\)
\(2^2=2\cdot1+2\)
\(3^2=3\cdot2+3\)
.....
\(100^2=100\cdot99+100\)
=> \(B=\left(1\cdot0+2\cdot1+3\cdot2+\cdots+100\cdot99\right)+\left(1+2+\cdots+100\right)\)
nhân 3 vào ngoặc 1
=> \(=\frac{99.100.101}{3}=333300\) ( mik hơi lười vt bạn tự tra nha:v)
\(\Rightarrow B=333300+5050=338350\)
b) Áp dụng công thức tính tổng bình phương:
\(1^2+\cdots+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\) ( từ câu a)
tổng từ \(1^2\) đến \(200^2\) là:
\(\frac{200.201.401}{6}=2686700\)
tổng từ \(1^2\) đến \(100^2\) là: \(338350\)
=>C=\(2686700-338350=2348350\)
c) tách số như sau:
\(1\cdot3=1\cdot2+1\)
\(2\cdot4=2\cdot3+2\)
...
\(100\cdot102=100\cdot101+100\)
=> \(S=\left(1\cdot2+2\cdot3+\cdots+100\cdot101\right)+\left(1+2+3+\cdots+100\right)\)
=> \(S=\frac{100.101.102}{3}+\frac{100.101}{2}\)
=> \(S=343400+5050=348450\)
d) \(1\cdot100=1\cdot101-1^2\)
\(2\cdot99=2\cdot101-2^2\)
...
\(100\cdot1=100\cdot101-100^2\)
=>T=\(\left(1\cdot101+2\cdot101+\cdots+100\cdot101\right)-\left(1^2+2^2+\cdots+100^2\right)\)
\(T=101\left(1+2+3+\cdots+100\right)-B\) (B là tổng ở câu a) nha)
T=\(101\cdot5050-338350\)
\(T=171700\)
e) => \(4E=1\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot4\cdot4+\cdots+98\cdot99\cdot100\cdot4\)
\(4E=1\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot4\cdot\left(5-1\right)+\cdots+98\cdot99\cdot100\cdot\left(101-97\right)\)
\(4E=1\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot4\cdot5-1\cdot2\cdot3\cdot4+\cdots+98\cdot99\cdot100\cdot101-97\cdot98\cdot99\cdot100\)
=> \(4E=98\cdot99\cdot100\cdot101\)
=> \(E=24497550\)
Gọi A là biểu thức ta có:
CÂU1 :A = 1.2+2.3+3.4+......+99.100
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + 99.100.3
3A = 1.2.3 + 2.3.(4 - 1) + 3.4.( 5 - 2) + … + 99.100. (101 - 98)
3A = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + … + 99.100.101 - 98.99.100
3A = 99.100.101
A = 99.100.101 : 3
A = 33.100.101
A = 333 300
\(B=\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+..+\dfrac{1}{98.99.100}\)
\(\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{2}{2.3}=\dfrac{2}{1.2.3};...;\dfrac{1}{98.99}-\dfrac{1}{99.100}=\dfrac{2}{98.99.100}\)
=> 2B = \(\dfrac{2}{1.2.3}+\dfrac{2}{2.3.4}+.....+\dfrac{2}{98.99.100}\)
\(=\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{2.3}-\dfrac{1}{3.4}+..+\dfrac{1}{98.99}-\dfrac{1}{99.100}\)
=> 2B = \(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{99.100}=\dfrac{4949}{9900}\)
=> B = \(\dfrac{4949}{19800}\)