Thử cách này của em xem ạ... lâu rồi không làm dạng này nên không rành lắm :(

Với x = 0 thì y = 1 (TM)

Với x = 1 thì y = 1 (TM)

Ta sẽ chứng minh với x > 2 thì không tồn tại y. (*) Thật vậy:

Với x = 2 thì y = 3 \(\Rightarrow\) (*) đúng với x =2

Giả sử (*) đúng với x = k > 2; \(k\inℕ\). Tức là \(1!+2!+3!+...+k!\ne y^3\)

Cần chứng minh nó đúng với x = k + 1.Tức là chứng minh \(1!+2!+3!+...+k!+\left(k+1\right)!\ne y^3\) (1)

\(\Leftrightarrow\left(1!+2!+3!+...+k!\right)-y^3+\left(k+1\right)!\ne0\)

Theo giả thiết quy nạp suy ra \(\left(1!+2!+3!+...+k!\right)-y^3+\left(k+1\right)!\ne y^3-y^3+\left(k+1\right)!=\left(k+1\right)!>0\forall k\inℕ\)

Do vậy (1) đúng nên theo nguyên lí quy nạp suy ra (*) đúng.

Vậy (x;y) = { (0;1) ; (1;1) }

Với \(x=0\Rightarrow y=1\left(TM\right)\)

Với \(x=1\Rightarrow y=1\left(TM\right)\)

Với \(x=2\Rightarrow y^3=1+1\cdot2=3\Rightarrow y=\sqrt[3]{3}\left(KTM\right)\)

Với \(x=3\Rightarrow y^3=1+1\cdot2+1\cdot2\cdot3=9\Rightarrow y=\sqrt[3]{9}\left(KTM\right)\)

Với \(x=4\Rightarrow y^3=1+1\cdot2+1\cdot2\cdot3+1\cdot2\cdot3\cdot4=33\Rightarrow y=\sqrt[3]{33}\left(KTM\right)\)

Với \(x=5\Rightarrow y^3=1+1\cdot2+1\cdot2\cdot3+1\cdot2\cdot3\cdot4+1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=33+120\) có tận cùng là 3.

Cứ tiếp tục như vậy thì  \(y^3\) luôn có dạng \(33+\overline{...0}\).

Mà lập phương của 1 số tự nhiên thì không tận cùng là 3 nên \(\left(x;y\right)=\left\{0;1\right\};\left\{1;1\right\}\)

7³= may???? 

Vũ Huỳnh Phong:Thanks a đã nhắc nhở ah.E làm lại.

Ta có:

Với \(x=0\Rightarrow y=1\left(TM\right)\)

Với \(x=1\Rightarrow y=1\left(TM\right)\)

Với \(x=2\Rightarrow y=\sqrt[3]{3}\left(KTM\right)\)

Với \(x=3\Rightarrow y=\sqrt[3]{9}\left(KTM\right)\)

Với \(x=4\Rightarrow y=\sqrt[3]{33}\left(KTM\right)\)

Với \(x=5\Rightarrow y=\sqrt[3]{153}\left(KTM\right)\)

Với \(x=6\Rightarrow y=\sqrt[3]{873}\left(KTM\right)\)

Với \(x=7\Rightarrow y=\sqrt[3]{5913}\left(KTM\right)\)

Với \(x=8\Rightarrow y=\sqrt[3]{46233}\left(KTM\right)\)

Ta có:\(x\ge9\Rightarrow x!⋮27;y^3⋮3\Rightarrow y⋮3\Rightarrow y^3⋮27\) mà \(1!+2!+3!+4!+5!+6!+7!+8!\) không chia hết cho 27 nên không tồn tại số tự nhiên y với \(x\ge9\) 

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(0;1\right);\left(1;1\right)\)

shitbo:Thanks SP đã chỉ dẫn cho đệ nha!Ko hổ danh là SP của đệ mak!Hihi

khong 27 con co 57, 87 ma`??? 

bai nay mk cung chua nghi ra cach lam nhung cach cua ban ko dung 

@tth_new

@zZz Cool Kid zZz

mấy bạn ơi x=0, y=1 không thỏa mãn đâu

Theo mình nên làm thế này thì ngắn hơn nhé

\(1!+2!+3!+...+x!=y^3\)               (\(x\ge1\))

Ta có \(1!+2!+3!+...+8!=46233⋮9\)(1)

=> Nếu \(x\ge9\Rightarrow1!+2!+...+x!⋮9\)

=> \(y^3⋮9\Rightarrow y^3⋮3\Rightarrow y⋮3\Rightarrow y^3⋮27\)

=> \(1!+2!+3!+...+x!=1!+2!+..+8!+9!+10!+..+x!\)

mà \(9!+10!+...+x!⋮27\Rightarrow1!+2!+...+8!⋮27\)(vô lí với (1) )

Vậy \(1\le x\le8\). Thay vào ta được x=1, y=1    thì thỏa mãn

Vậy..........................................

Mình nghĩ thế này đúng hơn đấy. Mong mấy bạn nhận xét để sửa chữa

Trần Thùy Linh:e cũng làm như vậy mà chị:))

Cách của em với bạn Cool kid chỉ cần bỏ dòng xét x=0 đi thôi ạ. Bọn em làm nhầm. Riêng cách em thì sửa chút:

+ Ta sẽ chứng minh với x > 2 thì không tồn tại y là số tự nhiên. Thật vậy :

+Với x=2 suy ra y³ = 3 suy ra y = \(\sqrt[3]{3}\) không là số tự nhiên suy ra mệnh đề (*) đúng với x=2

Còn lại y chang ạ.

ơ 0!=1 mà kiến thức cấp 3 mà bạn sao nói bỏ đi được