cho biểu thức M= \(\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{xy}-2y}\)-\(\frac{2x\sqrt{x}+4x}{x+\sqrt{x}-2\sqrt{xy}-2\sqrt{y}}\).\(\frac{x-1}{x+\sqrt{x}-2}\)

1) rút gọn M

2) tính M khi x=\(\sqrt{3}\)+1 y=\(\frac{2}{2+\sqrt{3}}\)

3) biết M = 1 .tìm giá trị nhỏ nhất của n=x\(^2y\)-2\(\sqrt{2}\)(3x+\(\sqrt{y}\))+2020

Rút gọn:

\(A=\dfrac{\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{x^2y^2}+\sqrt[3]{y^4}}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}}\)

\(B=\dfrac{\sqrt[3]{xy}\left(\sqrt[3]{y^2}-\sqrt[3]{x^2}\right)+\left(\sqrt[3]{x^4}-\sqrt[3]{y^4}\right)}{\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{x^2y^2}-\sqrt[3]{x^3y}}.\sqrt[3]{x^2}\)

\(C=\left(\dfrac{x\sqrt[3]{x}-2x\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{x^2y^2}}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}}+\dfrac{\sqrt[3]{x^2y}-\sqrt[3]{xy^2}}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}\right).\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\)

\(1,\hept{\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=3\\\sqrt{x+5}+\sqrt{y+3}=5\end{cases}}\)

\(2,\hept{\begin{cases}x\left(x+y+1\right)-3=0\\\left(x+y\right)^2-\frac{5}{x^2}+1=0\end{cases}}\)

\(3,\hept{\begin{cases}xy+x+y=x^2+2y^2\\x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y\end{cases}}\)

\(4,\hept{\begin{cases}xy+x+1=7y\\x^2y^2+xy+1=13y^2\end{cases}}\)

\(5,\hept{\begin{cases}2y\left(x^2-y^2\right)=3x\\x\left(x^2+y^2\right)=10y\end{cases}}\)

ta có bđt cần chứng minh 

\(\frac{\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\ge1\Leftrightarrow\sqrt{xy+z}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge1+\sqrt{xy}\)

Áp dụng bđt bu nhi ta có 

\(\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge x+y\) (1)

mà x+y+z=1\(\Rightarrow xy+z=xy+z\left(x+y+z\right)=\left(z+x\right)\left(z+y\right)\)

áp dụng bu nhi a ta có \(\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge z+\sqrt{xy}\) (2)

từ (1) và (2) => \(\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}\ge x+y+z+\sqrt{xy}=1+\sqrt{xy}\)