Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
xy+yz+xz=3xyz
<=> xy+yz+xz/xyz = 3
<=> 1/x + 1/y + 1/z = 3
Do vai trò x ; y ; z như nhau , ko mất tính tổng quát , giả sử
\(x\ge y\ge z\) . Khi đó , ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le3.\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow3\le3.\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow1\le\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow x\le1\)
Mà x nguyên dương nên x = 1
Làm tương tự như vậy , ta có : y = 1 ; z = 1
Vậy ....
Sai rồi bạn , nếu làm như bạn , phải giả sử
z \(\ge y\ge x\)chứ
:v
Ta có đẳng thức:
\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(A=x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow Min_A=\frac{1}{3}\)khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
hoặc bạn áp dụng hệ thức holder á
Ta có:
\(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)
Mặt khác:
\(\left(xy+yz+zx\right)^2=1\le3\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{3}\le\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)
hay \(x^4+y^4+z^4\ge\frac{1}{3}\Rightarrow A\ge\frac{1}{3}\)
Vậy \(Min_A=\frac{1}{3}\)khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Đề bài sai ngay từ giả thiết x,y,z nguyên dương.
Rõ ràng khi đó x,y,z > 0 => \(xy+yz+zx>0\)(đẳng thức không xảy ra)
Vậy đề đúng phải là x,y,z nguyên dương thỏa mãn \(xy+yz+zx=1\)
Khi đó ta giải như sau :
\(x^2+1=x^2+xy+yz+zx=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
\(y^2+1=y^2+xy+yz+zx=\left(y+x\right)\left(y+z\right)\)
\(z^2+1=z^2+xy+yz+zx=\left(z+x\right)\left(z+y\right)\)
\(\Rightarrow A=\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\right]^2\) là bình phương của một số nguyên.
\(xy+yz+zx=4xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\)
Ta có \(M=\frac{1}{4\left(x+y\right)}+\frac{1}{4\left(y+z\right)}+\frac{1}{4\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)
\(=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{8}.4=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" tại x = y = z = 3/4
Từ dữ kiện đề bài => x + y + z = xyz
Ta có :
\(\frac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}=\frac{x}{\sqrt{yz+xyz.x}}=\frac{x}{\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}}=\frac{x}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}\)
\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+z}}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+y}}\le\frac{1}{2}.\left(\frac{x}{x+z}+\frac{x}{x+y}\right)\)
Tương tự với hai hạng tử còn lại , suy ra
\(Q\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{x}{x+y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy Max = 3/2 <=> x = y = z
Nguồn : Đinh Đức Hùng
Lấy điểm O trong ΔABC sao cho \(\hat{AOB}=\hat{BOC}=\hat{AOC}=120^0\)
Đặt OA=x; OB=y; OC=z
Xét ΔOAB có \(cosAOB=\frac{OA^2+OB^2-AB^2}{2\cdot OA\cdot OB}\)
=>\(x^2+y^2-AB^2=2\cdot x\cdot y\cdot\frac{-1}{2}=-xy\)
=>\(AB^2=x^2+y^2+xy=1\)
=>AB=1
Xét ΔOAC có \(cosAOC=\frac{OA^2+OC^2-AC^2}{2\cdot OA\cdot OC}\)
=>\(x^2+z^2-AC^2=2\cdot x\cdot z\cdot cos120=-xz\)
=>\(AC^2=x^2+z^2+xz=\frac34\)
=>\(AC=\frac{\sqrt3}{2}\)
Xét ΔOBC có \(cosBOC=\frac{OB^2+OC^2-BC^2}{2\cdot OB\cdot OC}\)
=>\(\frac{y^2+z^2-BC^2}{2\cdot y\cdot z}=cos120=-\frac12\)
=>\(y^2+z^2-BC^2=-yz\)
=>\(BC^2=y^2+z^2+yz=\frac14\)
=> BC=1/2
Vì \(CA^2+CB^2=AB^2\)
nên ΔCAB vuông tại C
=>\(S_{CAB}=\frac12\cdot CA\cdot CB=\frac12\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{8}\)
\(S_{ABC} = \frac{1}{2}xy\sin(120^\circ) + \frac{1}{2}yz\sin(120^\circ) + \frac{1}{2}xz\sin(120^\circ)\)
=>\(S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4}(xy + yz + xz)\)
=>\(\frac{\sqrt{3}}{4}(xy+yz+xz)=\frac{\sqrt{3}}{8}\)
=>\(xy+yz+xz=\frac{1}{2}\)
\((x^2 + xy + y^2) + (y^2 + yz + z^2) + (x^2 + xz + z^2) = 1 + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}\)
=>\(2(x^2 + y^2 + z^2) + (xy + yz + xz) = 2\)
=>\(2(x^2+y^2+z^2)+\frac{1}{2}=2\)
=>\(x^2+y^2+z^2=\frac{3}{4}\)
\((x + y + z)^2 = (x^2 + y^2 + z^2) + 2(xy + yz + xz)\)
\(=\frac34+2\cdot\frac12=\frac74\)
=>\(x+y+z=\frac{\sqrt7}{2}\)
=>\(B=\frac{\sqrt7}{2}\)