a)

Xét x=0 => A = 1 không là số nguyên tố

Xét x=1 => A= 3 là số nguyên tố (chọn)

Xét x>1

Có A = x¹⁴+ x¹³ + 1 = x¹⁴ - x² + x¹³ - x + x² + x + 1

A = x²(x¹²-1) + x(x¹²-1) + x²+x+1

A = (x²+x)(x^3*4-1) + x² + x + 1

Có x^3*4 chia hết cho x³

=> x^3*4-1 chia hết cho x³ - 1 = (x-1)(x²+x+1)

=> x^3*4-1 chia hết cho x²+x+1

=>A chia hết cho x²+x+1 mà x²+x+1 >0 (do x>1)

=> A là hợp số với mọi x > 1 (do A chia hết cho x²+x+1)

Giải:

Vì biểu thức đã cho là 1 số chính phương \(\Rightarrow\) Ta đặt \(x^2+2x+200=k^2\left(k\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow k^2-\left(x^2+2x+1\right)=199\Leftrightarrow k^2-\left(x+1\right)^2=199\)

\(\Leftrightarrow\left(k-x-1\right)\left(k+x+1\right)=199\) (Áp dụng hằng đẳng thức \(a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\))

Mà \(199\) là số nguyên tố và \(x\in N\) nên: \(\hept{\begin{cases}k-x-1=1\left(1\right)\\k+x+1=199\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy \(\left(2\right)-\left(1\right)\Leftrightarrow x=98\)

nghiệm: xyz=(0,1,1)

 Xét x = 0

Ta có 1 + 2017^y = 2018^z

mà 1+2017 = 2018

Nên x = 0; y = z = 1

Xét x > 0

2016 tận cùng 6 nên 2016^x luôn tận cùng 6

2017^y có tận cùng là 7^y và là 1, 7, 9, 3

2018^z có tận cùng là 2, 4, 6, 8

Có 6 + 1= 7

     6 + 3 = 9

     6 + 7 = 13

     6 + 9 = 15

Vế trái không có tận cùng bằng VP nên không thỏa mãn

Vậy pt có nghiệm duy nhất là (x; y; z) = (0; 1; 1)

a. tìm a là số tự nhiên để 17a+8 là số chính phương

Giả sử \(17a+8=x^2\Rightarrow17a-17+25=x^2\Rightarrow17\left(a-1\right)=x^2-25\Rightarrow17\left(a-1\right)=\left(x-5\right)\left(x+5\right)\)

\(\Rightarrow\left(x-5\right);\left(x+5\right)⋮17\)

\(\Rightarrow x=17n\pm5\Rightarrow a=17n^2\pm10n+1\)

\(\left(x+1\right)^2+7\) chính phương mà \(\left(x+1\right)^2\) bản thân nó đã chính phương.

Vậy ta chỉ cần tìm 2 số chính phương hơn kém nhau \(7\) đơn vị.

Đó là số \(9\) và \(16\).

Vậy \(\left(x+1\right)^2=9\) (số chính phương bé hơn) nên \(x=2\).

-----

Phương pháp giải pt nghiệm nguyên dạng \(a^2-b^2=k\) với \(k\) cho trước.

Bước 1: Phân tích 2 vế ra thừa số:

\(a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)

\(k\) thành thừa số nguyên tố.

Bước 2: Lập bảng xét từng trường hợp rồi giải bài toán tổng - hiệu.

Biết đâu lang thang trên thiên hà số

lại xuất hiện hai số CP có hiệu bằng 7 nữa thì sao Anh.