a: A(3;-5); B(-2;2); C(4;1)

\(\overrightarrow{BC}=\left(4+2;1-2\right)=\left(6;-1\right)\) ; \(\overrightarrow{AC}=\left(4-3;1+5\right)=\left(1;6\right)\) ; \(\overrightarrow{BA}=\left(3+2;-5-2\right)=\left(5;-7\right)\)

b: Vì \(\frac65<>\frac{-1}{-7}\)

nên \(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}\) không tạo thành một đường thẳng

=>B,C,A không thẳng hàng

c: Tọa độ I là:

\(\begin{cases}x_{I}=\frac12\cdot\left(x_{A}+x_{C}\right)=\frac12\cdot\left(3+4\right)=\frac72\\ y_{I}=\frac12\cdot\left(y_{A}+y_{C}\right)=\frac12\cdot\left(-5+1\right)=\frac12\cdot\left(-4\right)=-2\end{cases}\)

Tọa độ J là:

\(\begin{cases}x_{J}=\frac12\cdot\left(x_{A}+x_{B}\right)=\frac12\cdot\left(3-2\right)=\frac12\\ y_{J}=\frac12\cdot\left(y_{A}+y_{B}\right)=\frac12\cdot\left(-5-2\right)=-\frac72\end{cases}\)

d: Tọa độ trọng tâm G là:

\(\begin{cases}x_{G}=\frac13\cdot\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)=\frac13\cdot\left(3-2+4\right)=\frac13\cdot5=\frac53\\ y_{G}=\frac13\cdot\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)=\frac13\cdot\left(-5-2+1\right)=\frac13\cdot\left(-6\right)=-2\end{cases}\)

=>G(5/3;-2)

e: A là trọng tâm của ΔHBC

=>\(\begin{cases}x_{H}+x_{B}+x_{C}=3\cdot x_{A}\\ y_{H}+y_{B}+y_{C}=3\cdot y_{A}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x_{H}+\left(-2\right)+4=3\cdot3=9\\ y_{H}+\left(-2\right)+1=3\cdot\left(-5\right)=-15\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x_{H}=9-4+2=9-2=7\\ y_{H}=-15+2-1=-13-1=-14\end{cases}\)

=>H(7;-14)

g: A(3;-5); B(-2;-2); C(4;1); D(x;y)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2-3;-2+5\right)=\left(-5;3\right)\) ; \(\overrightarrow{DC}=\left(4-x;1-y\right)\)

ABCD là hình bình hành

=>\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

=>4-x=-5 và 1-y=3

=>x=9 và y=1-3=-2

=>D(9;-2)

A B C A' B' C' a)Do A',B',C' là trung điểm BC,CA,AB=> A'B' song song với AB,B'C'song song với BC,C'A' song song với CA

\(\overrightarrow{A'B'}=\left(6;3\right)\) => VTPT của đường thẳng AB là: \(\overrightarrow{n}=\left(1;-2\right)\)

và C' thuộc (AB)=>Phương trình đường thẳng AB là:

(AB): x-2y-6=0

Tương tự ta có phương trình đường thẳng BC là:

(BC): x+4=0

Tọa độ điểm B là nghiệm hệ

\(\left\{{}\begin{matrix}\text{x-2y-6=0}\\x+4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\y=-5\end{matrix}\right.\)

=>B(-4;-5)

A'(-4;1) là TĐ của BC => tọa độ C(-4;7)

C'(2;-2) là TĐ của AB =>tọa độ A(8;1)

b) Gọi tọa độ trọng tâm G của tam giác A'B'C' là G(x;y)

=>\(\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}=0\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(-4-x\right)+\left(2-x\right)+\left(2-x\right)=0\\\left(1-y\right)+\left(4-y\right)+\left(-2-y\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\end{matrix}\right.\)

=>G(0;1)

Thay vào tính

Ta có:\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\) =(8-4-4;1-1+7-1-5-1)=(0;0)

=>G là trọng tâm tam giác ABC=>ĐPCM

A B C P N M

Từ giả thiết suy ra 

\(\overrightarrow{MN}=\left(-7;1\right);\overrightarrow{MP}=\left(-3;4\right)\) và tứ giá MNAP là hình bình hành nên \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OM}\)

Suy ra A(-4;3)

Do N là trung điểm CA và P là trung điểm AB nên \(\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OA}\) và \(\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\)

Suy ra B(10;1) và C(2;5)