Hàm trùng phương \(y=ax^4+bx^2+c\) có hệ số \(a>0\) đạt cực tiểu tại \(x=0\) khi và chỉ khi \(a.b\ge0\)

\(\Rightarrow1.\left(-2\left(m+1\right)\right)\ge0\Rightarrow m+1\le0\Rightarrow m\le-1\)

bạn ơi, cô giáo mình giải bài này ra m=-1

Ta có: \(y=\left(m-1\right)\cdot x^4-\left(m^2-2\right)\cdot x^2+2019\)

=>y'=\(\left(m-1\right)\cdot4x^3-\left(m^2-2\right)\cdot2x=\left(4m-4\right)\cdot x^3-\left(2m^2-4\right)\cdot x\)

=>y''=\(\left(4m-4\right)\cdot3x^2-\left(2m^2-4\right)=\left(12m-12\right)\cdot x^2-\left(2m^2-4\right)\)

Để hàm số đạt cực tiểu tại x=-1 thì y'(-1)=0 và y''(-1)>0

=>\(\left(4m-4\right)\cdot\left(-1\right)^3-\left(2m^2-4\right)\cdot\left(-1\right)=0\) và \(\left(12m-12\right)\cdot\left(-1\right)^2-\left(2m^2-4\right)\) >0

=>\(-4m+4+2m^2-4=0\) và 12m-12-2m^2+4>0

=>\(2m^2-4m=0\) và \(-2m^2+12m-8>0\)

=>2m(m-2)=0 và \(m^2-6m+4\) <0

=>m∈{0;2} và \(m^2-6m+9<5\)

=>m∈{0;2} và \(\left(m-3\right)^2<5\)

=>m=2

Ta có : \(y'=3x^2-6x+m^2\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-6x+m^2=0\left(1\right)\)

Hàm số có cực trị \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)

                           \(\Leftrightarrow\Delta'=3\left(3-m^2\right)>0\Leftrightarrow-\sqrt{3}< m< \sqrt{3}\)

Phương trình đường thẳng d' đi qua các điểm cực trị là : \(y=\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x+\frac{1}{3}m^2\)

=> Các điểm cực trị là :

\(A\left(x_1;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_1+\frac{1}{3}m^2+3m\right);B\left(x_2;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_2+\frac{1}{3}m^2+3m\right);\)

Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d và d' :

\(\Rightarrow I\left(\frac{2m^2+6m+15}{15-4m^2};\frac{11m^2+3m-30}{15-4m^2}\right)\)

A và B đối xứng đi qua d thì trước hết \(d\perp d'\Leftrightarrow\frac{2}{3}m^2-2=-2\Leftrightarrow m=0\)

Khi đó \(I\left(1;-2\right);A\left(x_1;-2x_1\right);B\left(x_2;-2x_2\right)\Rightarrow I\) là trung điểm của AB=> A và B đối xứng nhau qua d

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm

\(\Leftrightarrow y'=0\) 

có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(x_1\)<\(x_2\)<1

\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}\Delta'=4m^2-m-5>0\\f\left(1\right)=-5m+7>0\\\frac{S}{2}=\frac{2m-1}{3}<1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{5}{4}\)<m<\(\frac{7}{5}\)

Tập xác định : \(D=R\backslash\left\{-m\right\}\)

Ta có : \(y=x+\frac{1}{x+m}\Rightarrow y'=1-\frac{1}{\left(x+m\right)^2}\Rightarrow y"=\frac{2}{\left(x+m\right)^3}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\Leftrightarrow\begin{cases}y'\left(1\right)=0\\y"\left(1\right)>0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}1-\frac{1}{\left(x+m\right)^2}=0\\\frac{2}{\left(x+m\right)^3}>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m^2+2m=0\\m>-1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow m=0\)

Vậy m = 0 thì hàm số đạt cực tiểu tạo x = 1

đáp án:

Hàm số đã cho xác định trên D = R.

Với m = -1. Khi đó hàm số trở thành y = -2x + 4 ; y' = -2 < 0 ∀x∈R, không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với m ≠ -1. Ta có f'(x)= 3(m+1)x2 - 6(m + 1)x + 2m

   + Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đồng biến trong đoạn [x1;x2 ] thỏa mãn |x1 - x2 | ≥ 1

   + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đồng biến trong đoạn[x1;x2]

Theo Viét ta có 

   + Với |x1 - x2 | ≥ 1 ⇔ (x1 + x2 )2 - 4x1 x2 - 1 ≥ 0

Đối chiếu điều kiện ta có m ≤ -9.