Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2+x-3=\left(m+1\right)x+m+2\)

\(\Leftrightarrow x^2-mx-5-m=0\left(1\right)\)

\(\left(d\right)\) cắt \(\left(P\right)\) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía trục hoành khi phương trình \(\left(1\right)\) có hai nghiệm trái dấu

\(\Leftrightarrow-5-m< 0\Leftrightarrow m>-5\) 

Mà \(m\in\left\{m\in Z|-10\le m\le-4\right\}\Rightarrow m=-4\)

Vậy có một giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2+\left(m+2\right)x+m-2x+3=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+mx+m+3=0\)

Để (P) cắt (d) tại hai điểm nằm về hai phía với trục tung thì m+3<0

hay m<-3

Xét phương trình hoành độ giao điểm: x² – 2x + m – 1 = 0

Để parabol cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương thì phương trình có hai nghiệm dương hay  

Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2+x+3=mx+2\)

=>\(x^2+x+3-mx-2=0\)

=>\(x^2+x\left(1-m\right)+1=0\)

\(\Delta=\left(1-m\right)^2-4\cdot1\cdot1=\left(m-1\right)^2-4=\left(m-3\right)\left(m+1\right)\)

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thì (m-3)(m+1)>0

=>m>3 hoặc m<-1

Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m-1;x_1x_2=\frac{c}{a}=1\)

\(x_1^2+x_2^2-7\le0\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-7<=0\)

=>\(\left(m-1\right)^2-9\le0\)

=>(m-4)(m+2)<=0

=>-2<=m<=4

mà m>3 hoặc m<-1

nên 3<m<=4 hoặc -2<=m<-1

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2-2x-3=x-m\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x+m-3=0\left(1\right)\)

\(\left(d\right)\) cắt \(\left(P\right)\) tại hai điểm phân biệt nằm cùng một phía với trục tung khi phương trình \(\left(1\right)\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}21-4m>0\\m-3>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow3< m< \dfrac{21}{4}\)

Theo định lí Vi-et: \(x_1+x_2=3\Rightarrow x_2=3-x_1\)

\(x^2_2=16x^2_1\)

\(\Leftrightarrow\left(3-x_1\right)^2=16x^2_1\)

\(\Leftrightarrow x_1^2-6x_1+9=16x^2_1\)

\(\Leftrightarrow15x_1^2+6x_1-9=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=-1\\x_1=\dfrac{3}{5}\end{matrix}\right.\)

Nếu \(x_1=-1\Rightarrow m=-1\left(l\right)\)

Nếu \(x_1=\dfrac{3}{5}\Rightarrow m=\dfrac{111}{25}\left(tm\right)\)

Vậy \(m=\dfrac{111}{25}\)

Phương trình hoành độ giao điểm:  - x 2 + 2 x + 3 = m x ⇔ x 2 + m - 2 x - 3 = 0 1

Dễ thấy (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt vì  a c = 1 . - 3 = - 3 < 0

Khi đó (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt  A x 1 ; m x 1 ,  B x 2 ; m x 2 , với  x 1 ,   x 2  là nghiệm phương trình (1). Theo Viét, có:  x 1 + x 2 = 2 - m , x 1 x 2 = - 3 x 1 x 2 = - 3

I là trung điểm

A B ⇒ I = x 1 + x 2 2 ; m x 1 + m x 2 2 = 2 − m 2 ; − m 2 + 2 m 2

Mà I ∈ ( Δ ) : y = x − 3 ⇒ − m 2 + 2 m 2 = 2 − m 2 − 3 ⇔ m 2 − 3 m − 4 = 0

⇔ m = − 1 = m 1 m = 4 = m 2 ⇒ m 1 + m 2 = 3

Đáp án cần chọn là: D

Phân tích: Phương trình hoàn độ giao điểm: 

\(x^2+2x-3=x+m\Leftrightarrow x^2+x-3-m=0\left(1\right)\)

\(\left(d\right)\) cắt \(\left(P\right)\) tại 2 điểm phân biệt A ; B 

=> (1) có 2 nghiệm phân biệt 

<=> \(\Delta>0\) \(\Leftrightarrow m>\dfrac{-13}{4}\left(2\right)\)

giả sử: \(A\left(x_1;y_1\right),B\left(x_2;y_2\right)\) với \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của (1) Ta phải có :

\(\left(y_1-1\right)\left(y_2-2\right)< 0\Leftrightarrow\left(x_1+m-1\right)\left(x_2+m-1\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2+\left(m-1\right)\left(x_1+x_2\right)+m^2-2m+1< 0\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m-1< 0\Leftrightarrow2-\sqrt{5}< m< 2+\sqrt{5}\left(thỏa\left(2\right)\right)\)

\(m\in Z\Rightarrow m\in\left\{0;1;2;3;4\right\}\)

Tại sao (y1-1)(y2-2)<0 ạ?