Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Phản chứng. Giả sử tồn tại 3 số dương $a,b,c$ thỏa mãn điều trên
$\Rightarrow a+\frac{1}{b}+b+\frac{1}{c}+c+\frac{1}{a}< 6$
$\Leftrightarrow (a+\frac{1}{a}-2)+(b+\frac{1}{b}-2)+(c+\frac{1}{c}-2)< 0$
$\Leftrightarrow \frac{(a-1)^2}{a}+\frac{(b-1)^2}{b}+\frac{(c-1)^2}{c}< 0$ (vô lý với mọi $a,b,c>0$)
Do đó điều giả sử là sai.
Tức là không có 3 số dương $a,b,c$ nào thỏa mãn BĐT đã cho.
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2+3a+3b+3\right)=\left(a+1\right)\left(b+1\right)=25\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(\left(a-b\right)^2+3\left(ab+a+b+1\right)\right)-\left(a+1\right)\left(b+1\right)=25\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^3+3\left(a-b\right)\left(a+1\right)\left(b+1\right)-\left(a+1\right)\left(b+1\right)=25\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^3+\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(3a-3b-1\right)=25\)
Với a,b bình đẳng ta giải sử \(a>b\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^3>0\) vì a,b \(\in N^+\)
Vậy a-b là số lập phương
Mà \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(3a-3b-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^3\le25\)
Khi đó \(\left(a-b\right)^3=8\Rightarrow a-b=2\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(3a-3b-1\right)=25-8=16\)
Xét các ước
=> Theo bđt cô si ta có : B≥33√(x2+1y2 )(y2+1z2 )(z2+1x2 )
=> B≥33√2·xy ·2·yz ·2·zx =33√8=6
( Chỗ này là thay x2+1y2 ≥2√x2y2 =2·xy và 2 cái kia tương tự vào )
=> Min B=6
Mình nhầm chỗ câu b, sửa lại là :
B≥33√√(x2+1y2 )(y2+1z2 )(z2+1x2 )
Bạn làm tương tự => B≥3√2.
TL:
Đặt a-b=x ; a+b+ab+1=y thì ta có pt ban đầu trở thành :
x(x2+3y)=y+25
.............(rồi bạn làm tiếp)
tới đó rồi làm như thế nào
\(a^3-b^3+3\left(a^2-b^2\right)+3\left(a-b\right)=\left(a+1\right)\left(b+1\right)+25\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3+3a^2+3a+1\right)-\left(b^3+3b^2+3b+1\right)=\left(a+1\right)\left(b+1\right)+25\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^3-\left(b+1\right)^3=\left(a+1\right)\left(b+1\right)+25\) (*)
Đặt x=a+1,y=b+1 (x,y thuộc Z; x,y >= 2)
Khi đó (*) trở thành \(x^3-y^3=xy+25\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)=xy+25\) (**)
Từ (**) => \(x>y\Rightarrow x-y\ge1\) mà \(x^2+xy+y^2>0\) nên:
\(x^2+xy+y^2\le xy+25\Rightarrow x^2+y^2\le25\Rightarrow x\le4\) (1)
Mặt khác x>y và x,y >= 2 nên xy >= 6
=> \(x^3-y^3=xy+25\ge31\Rightarrow x^3>31\Rightarrow x>3\) (2)
Từ (1) và (2) => x=4
Do x>y và y >= 2 nên \(y\in\left\{2;3\right\}\)
Thử lại, chỉ có x=4,y=3 thỏa (**) => a=3,b=2
Vậy a=3,b=2