Đặt \(A=3^{3m^2+6n-61}+4\)

Đặt \(k=3m^2+6n-61\)

TH1: k=0

=>\(A=3^0+4=1+4=5\) là số nguyên tố

=>Nhận

k=0

=>\(3m^2+6n-61=0\)

=>\(3m^2+6n=61\)

=>3(m^2+2n)=61

mà 61 không chia hết cho 3

nên (m;n)∈∅

TH2: k>=1

Nếu k=4t+1 thì \(3^{k}=3^{4t+1}=81^{t}\cdot3\equiv1^{t}\cdot3\equiv3\pmod5\)

=>\(A=3^{k}+4\equiv3+4=7\equiv2\pmod5\)

Nếu k=4t+2 thì \(3^{k}=3^{4t+2}=81^{t}\cdot9\equiv1^{t}\cdot4\equiv4\pmod5\)

=>\(A=3^{k}+4\equiv4+4=8\equiv3\pmod5\)

Nếu k=4t+3 thì \(3^{k}=3^{4t+3}=81^{t}\cdot27\equiv1^{t}\cdot2\equiv2\pmod5\)

=>\(A=3^{k}+4\equiv2+4=6\equiv1\pmod5\)

Nếu k=4t thì \(3^k = (3^2)^{\frac{k}{2}} = 9^{\frac{k}{2}}\)

Đặt x=k/2

Đặt k=4t

\(A = 3^k + 4 = (3^2)^{\frac{k}{2}} + 2^2 = 9^{\frac{k}{2}} + 4\)

\(=3^{4t}+4=(3^{t})^4+4=\left[(3^{t})^2+2\right]^2-(2\cdot3^{t})^2\)

\(=(3^{2t}+2-2\cdot3^{t})(3^{2t}+2+2\cdot3^{t})\)

\(=\left[(3^{t}-1)^2+1\right]\left[(3^{t}+1)^2+1\right]\)

t>=1

=>\(3^t - 1 \ge 2 \implies (3^t - 1)^2 + 1 \ge 5 > 1\)

t>=1

=>\((3^t + 1)^2 + 1 > 1\)

Do đó: A là tích của hai thừa số lớn hơn 1

=>A là hợp số

=>(m;n)∈∅

tai sao b^c +a +a^b +c +c^a+b=2(a+b+c)

số đó là 1

Nếu \(n=0\to n^{1997}+n^{1975}+1=1\) không phải là số nguyên tố.

Xét  \(n\) là số nguyên dương. Ta có  \(n^{1997}-n^2=n^2\left(n^{3\times665}-1\right)\vdots\left(n^3\right)^{665}-1\vdots n^3-1\vdots n^2+n+1.\) 

Suy ra \(n^{1997}-n^2\vdots n^2+n+1.\)  
Tương tự, \(n^{1975}-n=n\left(n^{3\times658}-1\right)\vdots\left(n^3\right)^{658}-1\vdots n^3-1\vdots n^2+n+1.\)
Từ đó ta suy ra \(n^{1997}+n^{1975}+1=\left(n^{1997}-n^2\right)+\left(n^{1975}-n\right)+\left(n^2+n+1\right)\vdots n^2+n+1.\)
Vì \(n^{1997}+n^{1975}+1\)  là số nguyên tố (chỉ có hai ước dương là 1 và chính nó) và \(n^2+n+1>1\), nên \(n^{1997}+n^{1975}+1=n^2+n+1.\) Suy ra \(\left(n^{1997}-n^2\right)+\left(n^{1975}-n\right)=0.\) Do \(n\)là số nguyên dương nên \(\left(n^{1997}-n^2\right)\ge0,\left(n^{1975}-n\right)\ge0.\) Vậy \(n=1.\)

Thử lại với \(n=1\to n^{1997}+n^{1975}+1=3\) là số nguyên tố. 

Đáp số \(n=1.\)

dạng này đc gọi là dạng j thế câuk

mình cũng không biết

Ta có \(n^4-3n^2+1=\left(n^4-2n^2+1\right)-n^2\)

                                        \(=\left(n^2-1\right)^2-n^2\)

                                        =(n^2-n-1)(n^2+n-1)

   Để B là số nguyên tố thì 

  n^2-n-1=1,n^2+n-1 là số nguyên tố 

=>n=2 thỏa mãn

Vậy n=2

NGUUYỄN NGỌC MINH viết sai đề rồi

đồng ý cả hai tay

Ta có : \(n^2-6n+5=\left(n-5\right)\left(n-1\right)\)(*) 

Để (*) là số nguyên tố khi \(n-5=1\)và \(n-1\)là số nguyên tố 

\(\Leftrightarrow n=6\left(tm\right)\)

Vậy n = 6 thì (*) là số nguyên tố