Ta có:

$n^3-2n^2+2n-4=m$

Nhóm các hạng tử:

$n^2(n-2)+2(n-2)=m$

$(n-2)(n^2+2)=m$

Vì $m,n$ đều là số nguyên tố.

Nếu $n=2$ thì:

$m=0$, không phải số nguyên tố.

Vậy $n>2$, suy ra $n-2>0$.

Do $m=(n-2)(n^2+2)$ là số nguyên tố nên một trong hai thừa số phải bằng $1$.

$n-2=1$

$n=3$

Khi đó:

$m=(3-2)(3^2+2)$$=1\cdot11$$=11$

Vậy $(m,n)=(11,3)$.

nhanh len nhe

$9^m-3^m=n^4+2n^3+n^2+2n$

$3^m(3^m-1)=n^2(n+1)^2+2n$

Đặt $a=3^m,\ k=n(n+1)$:

$k^2+2n=a(a-1)$.

Ta có $n(n+1)=k$ nên:

$k^2+2n=3^m(3^m-1)$.

Xét modulo $3^m$:

$k^2+2n\equiv0\pmod{3^m}$.

Vì $k=n(n+1)$ nên bài toán dẫn đến $m=1,n=1$.

Kiểm tra:

$9-3=6$

$1+2+1+2=6$.

Vậy $(m,n)=(1,1)$.

Đặt $N=(x+y)^2+3x+y+1$.

Theo đề $N$ là số chính phương, nên đặt $N=k^2$.

Ta có: $k^2=(x+y)^2+3x+y+1$

$k^2-(x+y)^2=3x+y+1$

$(k-x-y)(k+x+y)=3x+y+1$.

Vì $x,y>0$ nên: $k>x+y$.

Đặt $a=k-x-y>0$.

Khi đó: $a(2x+2y+a)=3x+y+1$.

Nếu $x>y$ thì: $3x+y+1<2x+2y+2x$ (với $x,y$ dương),

suy ra mâu thuẫn với $a\ge1$.

Tương tự nếu $x<y$ cũng mâu thuẫn.

Do đó: $x=y$.

Với \(m\)chẵn: \(m^2+1=\left(2k\right)^2+1=4k^2+1\)

Với \(m\)lẻ: \(m^2+1=\left(2k+1\right)^2+1=4k^2+4k+1+1=4k^2+4k+2\)

Do đó \(m^2+1\)chia cho \(4\)dư \(1\)hoặc \(2\).

Mà với \(n\ge2\)thì \(2^n⋮4\)do đó mâu thuẫn. 

Vậy \(n=0\)hoặc \(n=1\).

Thử với từng giá trị ta thu được nghiệm là \(\left(0,0\right),\left(\pm1,1\right)\).

giả sử d = ƯCLN ( m , n ) với d \(\ge\) 1 thì m \(⋮\)d và n \(⋮\) d 

suy ra : 3m \(⋮\) d , 2n \(⋮\) d 

suy ra 3m - 2n = 1 \(⋮\) d 

Bởi vì d \(\ge\)1 mà 1 d thì d = 1, 

suy ra m và n nguyên tố cùng nhau

Với n=1=>P=2(thỏa mãn)

Với n>1=>n chẵn=>nⁿlà số chính phương<=> P tận cùng là 5 hoặc 7

Với P tận cùng 5 chỉ có P=5 thỏa mãn

Với P tận cùng là 7 thì có:17;37;...