Câu hỏi của Nguyễn Cảnh Kyf

Question

Tìm tất cả các số nguyên tố khác nhau$m,n,p,q$thõa $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{mnpq}=1$

Thanh Tùng DZ · Accepted Answer

Không mất tính tổng quát , giả sử m < n < p < q

Nếu m $\ge$3 thì : $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{mnpq}\le\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{3.5.7}< 1$

Suy ra m = 2

Khi đó : $\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{2npq}=\frac{1}{2}$ ( 1 )

Nếu n $\ge$5 thì $\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{2npq}\le\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{2.5.7.11}< \frac{1}{2}$

Vậy n = 3 và ( 1 ) trở thành : $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{6pq}=\frac{1}{6}$

$\Leftrightarrow\left(p-6\right)\left(q-6\right)=37\Rightarrow p=7;q=43$

Vậy (m,n,p,q) = .( 2,3,7,43 ) và các hoán vị của nó

Câu trả lời: