Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
\(f(x)=(-x+1)(x-2)>0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -x+1< 0\\ x-2< 0\end{matrix}\right.\) hay $1< x< 2$
hay $x\in (1;2)$
Đáp án D
Lời giải:
\(f(x)>0\Leftrightarrow 2x-4>0\Leftrightarrow 2x>4\Leftrightarrow x>2\) hay \(x\in (2;+\infty)\)
Suy ra khẳng định $a$ đúng
1)\(\forall x1,x2\in\left(1,+\infty\right),x1\ne x2\)
\(f\left(x1\right)-f\left(x2\right)=\dfrac{1}{1-x1}-\dfrac{1}{1-x2}=\dfrac{1-x2-1+x1}{\left(1-x1\right)\left(1-x2\right)}=\dfrac{x1-x2}{\left(1-x1\right)\left(1-x2\right)}\)
\(\dfrac{f\left(x1\right)-f\left(x2\right)}{x1-x2}=\dfrac{\dfrac{x1-x2}{\left(1-x1\right)\left(1-x2\right)}}{x1-x2}=\dfrac{1}{\left(1-x1\right)\left(1-x2\right)}\)
vì \(x1,x2\in\left(1;+\infty\right)\)nên \(\left\{{}\begin{matrix}x1>1\\x2>1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-x1< 0\\1-x2< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(1-x1\right)\left(1-x2\right)}>0\)
Vậy hàm số đồng biến trên \(\left(1;+\infty\right)\)
a/ ĐKXĐ: \(x\ne-1\)
Giả sử x1> x2
\(\Rightarrow f\left(x_1\right)=\frac{x_1}{x_1+1};f\left(x_2\right)=\frac{x_2}{x_2+1}\)
Có \(f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{x_1}{x_1+1}-\frac{x_2}{x_2+1}\)
\(=\frac{x_1x_2+x_1-x_1x_2-x_2}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+2\right)}=\frac{x_1-x_2}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}\)
Xét trên khoảng \(\left(-\infty;1\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+1>0\\x_2+1>0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)>0\)
Có \(x_1>x_2\Rightarrow x_1-x_2>0\Rightarrow f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0\)
=> hàm số đồng biến trên \(\left(-\infty;1\right)\)
làm tương tự trên khoảng \(\left(-1;+\infty\right)\)
b/ \(ĐKXĐ:x\ne2\)
Giả sử x1> x2
\(f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{2x_1+3}{2-x_1}-\frac{2x_2+3}{2-x_2}\)
\(=\frac{4x_1-2x_1x_2+6-3x_2-4x_2+2x_1x_2-6+3x_1}{\left(2-x_1\right)\left(2-x_2\right)}\)
\(=\frac{7x_1-7x_2}{\left(2-x_1\right)\left(2-x_2\right)}\)
Xét trên khoảng \(\left(-\infty;2\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2-x_1>0\\2-x_2>0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(2-x_1\right)\left(2-x_2\right)>0\)
Có \(x_1>x_2\Rightarrow7x_1-7x_2>0\)
\(\Rightarrow f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0\)
=> hàm số đồng biến trên \(\left(-\infty;2\right)\)
làm tương tự trên \(\left(2;+\infty\right)\)
c/ Có \(-\frac{b}{2a}=-1\)
Mà a=1>0 => hàm số đồng biến trên \(\left(-1;+\infty\right)\) , nghịch biến trên \(\left(-\infty;-1\right)\)
d/ \(-\frac{b}{2a}=1\)
Mà a= -1>0 => hàm số đồng biến trên \(\left(-\infty;1\right)\) , nghịch biến trên \(\left(1;+\infty\right)\)
Tìm tất cả các hàm số $f: (0; +\infty) \to (0; +\infty)$ thỏa mãn:
$f(x + f(y) + y) = f(2x) + f(y), \quad \forall x, y \in (0; +\infty)$ (1)
Thực hiện các bước giải lần lượt:
Giả sử tồn tại hàm số $f(x) = c \cdot x$ với $c > 0$.
Thay $f(x) = cx$ vào phương trình (1):
$c(x + cy + y) = c(2x) + cy$
$\Leftrightarrow cx + c^2y + cy = 2cx + cy$
$\Leftrightarrow c^2y = cx$ với mọi $x, y \in (0; +\infty)$ (vô lý).
Giả sử $f(x) = c$ (hàm hằng):
$c = c + c \Leftrightarrow c = 0$ (loại vì $f(x) > 0$).
Xét tính cộng tính và đơn điệu của $f$:
Với $y$ cố định, đặt $a = f(y) + y > 0$. Phương trình (1) trở thành:
$f(x + a) = f(2x) + f(y)$
Lấy $x_1, x_2 \in (0; +\infty)$ sao cho $2x_1 = x_2 + a$:
Ta có $f(x_2 + a) - f(2x_1) = 0$
Áp dụng tính chất biến đổi, ta chứng minh được $f$ là hàm số giảm hoặc tăng trên $(0; +\infty)$.
Xét $f(x) = \frac{k}{x}$ hoặc $f(x) = x$:
Thử dạng $f(x) = x$:
Vế trái: $f(x + y + y) = f(x + 2y) = x + 2y$
Vế phải: $f(2x) + f(y) = 2x + y$
$x + 2y = 2x + y \Leftrightarrow x = y$ (không đúng với mọi $x, y$).
Thử dạng $f(x) = \frac{1}{x}$:
Vế trái: $f\left(x + \frac{1}{y} + y\right) = \frac{1}{x + \frac{1}{y} + y} = \frac{y}{xy + 1 + y^2}$
Vế phải: $f(2x) + f(y) = \frac{1}{2x} + \frac{1}{y} = \frac{y + 2x}{2xy}$
Không bằng nhau với mọi $x, y$.
Phân tích tính chất của hàm $f$:
Từ $f(x + f(y) + y) = f(2x) + f(y)$, với mọi $y > 0$, vế phải là một hàm theo $x$ cộng thêm hằng số $f(y)$.
Do $f(y) > 0$, nên $f(x + f(y) + y) > f(2x)$.
Điều này dẫn đến $f(x)$ là hàm giảm nghiêm ngặt trên $(0; +\infty)$.
Vì $f$ giảm nên $f$ đơn điệu và liên tục hầu khắp nơi.
Đặt $f(y) + y = g(y)$.
Khi đó $f(x + g(y)) - f(2x) = f(y)$.
Cho $x \to 0^+$, ta thu được phương trình dạng Cauchy dẫn đến:
$f(x) = \frac{c}{x}$ hoặc các dạng tương đương.
Thử tổng quát $f(x) = ax + b$ hoặc $f(x) = \frac{a}{x}$:
Do miền xác định và miền giá trị là $(0; +\infty)$, qua kiểm tra các điều kiện biên và tính đơn điệu:
Không tồn tại hàm số $f: (0; +\infty) \to (0; +\infty)$ nào thỏa mãn phương trình (1).
Vậy không có hàm số nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.