Xét 

\(y'=4x^3-4\left(m-1\right)x=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x^2=m-1\end{cases}}\)
TH1: 

\(m-1\le0\) thì hàm số đồng biến trên R

TH2: \(m-1>0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{m-1}\\x=-\sqrt{m-1}\end{cases}}\)

Khi đó khoảng đồng biến của hàm số là \(\left(-\infty,-\sqrt{m-1}\right)\text{ và }\left(0,\sqrt{m-1}\right)\)

Muốn hàm số đồng biến trên (1,3) thì \(\left(1,3\right)\subset\left(0,\sqrt{m-1}\right)\Leftrightarrow3\le\sqrt{m-1}\Leftrightarrow m\ge10\)

Vậy \(\orbr{\begin{cases}m\le1\\m\ge10\end{cases}}\)

a) y = f(x) = x³ – 3mx² + 3(2m-1)x + 1

Tập xác định: D = R

y’= 3x² -6mx + 3(2m-1) = 3(x² – 2mx + 2m – 1)

Hàm số đồng biến trên D = R ⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ R

⇔ x² – 2mx + 2m - 1≥0, ∀x ∈ R

⇔ Δ’ = m² – 2m + 1 = (m-1)² ≤ 0 ⇔ m =1

b) Hàm số có một cực đại và một cực tiểu

⇔ phương trình y’= 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ (m-1)² > 0 ⇔ m≠1

c) f’’(x) = 6x – 6m > 6x

⇔ -6m > 0 ⇔ m < 0

Câu 1:

\(y'=\frac{\left(4x+1-m\right)\left(x-m\right)-\left(2x^2+\left(1-m\right)x+m+1\right)}{\left(x-m\right)^2}=\frac{2x^2-4mx+m^2-2m-1}{\left(x-m\right)^2}\)

Xét pt: \(f\left(x\right)=2x^2-4mx+m^2-2m-1=0\)

\(\Delta'=4m^2-2\left(m^2-2m-1\right)=2\left(m+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\frac{2m-\sqrt{2}\left(m+1\right)}{2}=\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)m-\frac{\sqrt{2}}{2}\\x_2=\frac{2m+\sqrt{2}\left(m+1\right)}{2}=\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)m+\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)

ĐK1: để hàm số liên tục trên \(\left(1;+\infty\right)\) \(\Rightarrow m\le1\) (1)

ĐK2: \(x_2\le1\Rightarrow\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)m+\frac{\sqrt{2}}{2}\le1\)

\(\Rightarrow\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)m\le1-\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow m\le3-2\sqrt{2}\) (2)

Kết hợp (1) và (2) ta được \(m\le3-2\sqrt{2}\)

Câu 2:

\(y'=m-3+\left(2m+1\right)sinx\)

Để hàm số nghịch biến trên R \(\Leftrightarrow y'\le0\) \(\forall x\in R\)

\(\Rightarrow m-3+\left(2m+1\right)sinx\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)sinx\le3-m\)

TH1: \(2m+1=0\Rightarrow m=-\frac{1}{2}\Rightarrow0\le3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}\) (đúng)

TH2: \(2m+1< 0\Rightarrow m< -\frac{1}{2}\)

\(\left(2m+1\right)sinx\le3-m\Leftrightarrow sinx\ge\frac{3-m}{2m+1}\)

\(\Rightarrow\min\limits_{x\in R}sinx\ge\frac{3-m}{2m+1}\Rightarrow\frac{3-m}{2m+1}\le-1\)

\(\Leftrightarrow\frac{3-m}{2m+1}+1\le0\Leftrightarrow\frac{m+4}{2m+1}\le0\Rightarrow-4\le m< -\frac{1}{2}\)

TH3: \(2m+1>0\Rightarrow m>-\frac{1}{2}\)

\(\left(2m+1\right)sinx\le3-m\Rightarrow sinx\le\frac{3-m}{2m+1}\)

\(\Leftrightarrow\max\limits_{x\in R}\left(sinx\right)\le\frac{3-m}{2m+1}\Rightarrow\frac{3-m}{2m+1}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{2-3m}{2m+1}\ge0\Leftrightarrow-\frac{1}{2}< m\le\frac{2}{3}\)

Kết hợp lại ta được: \(-4\le m\le\frac{2}{3}\)

Lời giải:

\(y=\frac{mx-m+2}{x+m}\Rightarrow y'=\frac{m(x+m)-(mx-m+2)}{(x+m)^2}\)

\(\Leftrightarrow y'=\frac{m^2+m-2}{(x+m)^2}\)

Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó thì:

\(y'\leq 0\Leftrightarrow m^2+m-2\leq 0\)

\(\Leftrightarrow -2\leq m\leq 1\)

Đáp án C

câu 1 sao không ra đáp án nào vậy bạn , hình như bạn làm sai đâu đó rồi

Trời, đọc xong chỉ việc chọn đáp án mà ko biết chọn luôn?

Đáp án D chứ sao nữa

a) . Tập xác định : R {} ;

và ;

Do đó hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Tiệm cận đứng ∆ : x = .

A(-1 ; ) ∈ ∆ ⇔ = -1 ⇔ m = 2.

c) m = 2 => .

Chọn B

Ta có : \(y'=4x^3-4\left(m-1\right)x\)

           \(y'=0\Leftrightarrow4x^3-4\left(m-1\right)x=0\Leftrightarrow x\left[x^2-\left(m-1\right)\right]=0\)

Trường hợp 1 : nếu \(m-1\le0\Leftrightarrow m\le1\), hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\), vậy \(m\le1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trường hợp 2 : nếu \(m-1>0\Leftrightarrow m>1\), hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\sqrt{m-1};0\right)\) và \(\left(\sqrt{m-1};+\infty\right)\)

Để hàm số đồng biến trên khoảng (1;3) thì \(\left(\sqrt{m-1}\le1\Leftrightarrow m\le2\right)\)

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1;3) \(\Leftrightarrow m\in\left(-\infty;2\right)\)

Đề yêu cầu tìm m sao cho hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định K \(\left(-\infty,m\right),\left(m,+\infty\right)\)

\(y'=\dfrac{x^2-2mx+m^2-m+1}{\left(x-m\right)^2}\)

y đồng biến trên K \(\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2-m+1\ge0,\forall x\in K\)

\(f\left(x\right)=x^2-2mx+m^2-m+1\ge0,\forall x\in K\) (1)

Nhận xét: f(x) là một parabol hướng lên và min tại \(x=m\)

(1) \(\Leftrightarrow\) \(f\left(m\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow1\ge m\)

Vậy...