\(x^2 + \frac{1}{x^2} - (m^2 + m + 2)\left(x + \frac{1}{x}\right) + m^3 + 2m + 2 = 0\) (1)

Đặt \(t=x+\frac{1}{x}\)

=>\(t^2=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2\)

=>\(t^2-2=x^2+\frac{1}{x^2}\)

Nếu x>0 thì \(t\ge2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2\)

Nếu x<0 thì \(t\le-2\cdot\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=-2\)

=>\(\vert{}t\vert{} \ge 2\)

(1) sẽ trở thành: \((t^2 - 2) - (m^2 + m + 2)t + m^3 + 2m + 2 = 0\)

=>\(t^2-(m^2+m+2)t+m^3+2m=0\)

\(\Delta = [-(m^2 + m + 2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^3 + 2m)\)

\(=(m^2+m+2)^2-4(m^3+2m)\)

\(=(m^4+m^2+4+2m^3+4m^2+4m)-(4m^3+8m)\)

\(=m^4+2m^3+5m^2+4m+4-4m^3-8m\)

\(=m^4-2m^3+5m^2-4m+4=m^2(m-1)^2+(2m-1)^2+3\) >0∀m

(1)=>\((t - m)(t - (m^2 + 2)) = 0\)

=>\(\begin{cases} t_1 = m \\ t_2 = m^2 + 2 \end{cases}\)

TH1: \(t_2 = m^2 + 2\)

=>\(t_2\ge2\forall m\)

=>\(\left|t_2\right|\ge2\forall m\)

=>Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

1.

\(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2m\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-1+2m=0\)

Đặt \(x+\dfrac{1}{x}=t\Rightarrow\left|t\right|\ge2\)

\(\Rightarrow t^2-1-2mt+2m=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t+1\right)-2m\left(t-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t+1-2m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\left(loại\right)\\t=2m-1\end{matrix}\right.\)

Pt có nghiệm \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2m-1\ge2\\2m-1\le-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge\dfrac{3}{2}\\m\le-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

2.

Cộng vế với vế: \(3\left|x\right|=3\Rightarrow\left|x\right|=1\)

\(\Rightarrow\left|y\right|=-1< 0\) (không thỏa mãn)

Vậy hệ pt vô nghiệm

ta có \(\frac{\left(x+2\right)\left(mx+3\right)}{x-1}=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+2\right)\left(mx+3\right)=0_{ }\left(1\right)\\x-1\ne0\end{cases}}\)

Phương trình có nghiệm duy nhất khi (1) có nghiệm kép hoặc (1) có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm là x=1

th1: (1) có nghiệm kép

\(\Rightarrow m=\frac{3}{2}\)

th2: (1) có 1 nghiệm x=1 

\(\Rightarrow m=-3\)