Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì 3 ≤ x ≤ 7 => x - 3 ≥ 0; 7 - x ≥ 0
=> C ≥ 0
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = 3 hoặc x = 7
C = (x - 3)(7 - x) ≤ \(\dfrac{1}{4}\)(x - 3 + 7 - x)2 = \(\dfrac{1}{4}\).42 = 4
Dấu "=" xảy ra <=> x - 3 = 7 - x <=> x = 5
\(G=\left(x^2+\sqrt[3]{3}\right)+\left(\dfrac{2}{x^3}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)-\sqrt[3]{3}-\dfrac{4}{\sqrt{3}}\ge2\sqrt{x^2.\sqrt[3]{3}}+3\sqrt[3]{\dfrac{2}{x^3}.\dfrac{2}{\sqrt{3}}.\dfrac{2}{\sqrt{3}}}-\sqrt[3]{3}-\dfrac{4}{\sqrt{3}}=2\sqrt[6]{3}.x+\dfrac{6}{\sqrt[3]{3}x}-\sqrt[3]{3}-\dfrac{4}{\sqrt{3}}\ge2\sqrt{2\sqrt[6]{3}.x.\dfrac{6}{\sqrt[3]{3}x}}-\sqrt[3]{3}-\dfrac{4}{\sqrt{3}}=2\sqrt{\dfrac{12\sqrt[6]{3}}{\sqrt[3]{3}}}-\sqrt[3]{3}-\dfrac{4}{\sqrt{3}}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=\sqrt[6]{3}\)
3.
\(\dfrac{2a^2}{b^2}+2\dfrac{b^2}{c^2}+2\dfrac{c^2}{a^2}\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)
áp dụng bất đẳng thức cosi
+ \(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge2\dfrac{a}{c}\)
......
tương tự với 2 cái sau
\(\left(x^2+\dfrac{8}{27x}+\dfrac{8}{27x}\right)+\left(y^2+\dfrac{8}{27y}+\dfrac{8}{27y}\right)+\dfrac{11}{27}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)
\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{8^2}{27^2}}+3\sqrt[3]{\dfrac{8^2}{27^2}}+\dfrac{11}{27}.\dfrac{4}{x+y}\)
\(\ge\dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{11}{9}=\dfrac{35}{9}\)
ĐKXĐ: \(x\ge3\)
Đặt \(\sqrt{x-3}=t\ge0\Rightarrow x=t^2+3\)
\(\Rightarrow2\left(t^2+3\right)-t=m\Leftrightarrow2t^2-t+6=m\)
Xét \(f\left(t\right)=2t^2-t+6\) với \(t\ge0\)
\(-\frac{b}{2a}=\frac{1}{4}\Rightarrow f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{47}{8}\Rightarrow f\left(t\right)\ge\frac{47}{8}\)
\(\Rightarrow\) Để pt có nghiệm thì \(m\ge\frac{47}{8}\)
\(A=\frac{3}{4}.4.x^2\left(8-x^2\right)\le\frac{3}{4}\left(x^2+8-x^2\right)^2=48\)
\(A_{max}=48\) khi \(x^2=8-x^2\Rightarrow x=\pm2\)
\(B=\frac{1}{2}\left(2x-1\right)\left(6-2x\right)\le\frac{1}{8}\left(2x-1+6-2x\right)^2=\frac{25}{8}\)
\(B_{max}=\frac{25}{8}\) khi \(2x-1=6-2x\Rightarrow x=\frac{7}{4}\)
\(C=\frac{1}{\sqrt{3}}.\sqrt{3}x\left(3-\sqrt{3}x\right)\le\frac{1}{4\sqrt{3}}\left(\sqrt{3}x+3-\sqrt{3}x\right)^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
\(C_{max}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\) khi \(\sqrt{3}x=3-\sqrt{3}x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(D=\frac{1}{20}.20x\left(32-20x\right)\le\frac{1}{80}\left(20x+32-20x\right)^2=\frac{64}{5}\)
\(D_{max}=\frac{64}{5}\) khi \(20x=32-20x\Rightarrow x=\frac{4}{5}\)
\(E=\frac{4}{5}\left(5x-5\right)\left(8-5x\right)\le\frac{1}{5}\left(5x-5+8-5x\right)=\frac{9}{5}\)
\(E_{max}=\frac{9}{5}\) khi \(5x-5=8-5x\Leftrightarrow x=\frac{13}{10}\)
1. Theo BĐT AM - GM, ta có:
\(\Sigma\dfrac{1}{\left(2x+y+z\right)^2}=\Sigma\dfrac{1}{\left\{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)\right\}^2}\le\Sigma\dfrac{1}{4\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
Do đó BĐT ban đầu sẽ đúng nếu ta C/m được
\(\Sigma\dfrac{1}{4\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\dfrac{3}{16}\Leftrightarrow\dfrac{8}{3}\left(x+y+z\right)\le\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{8}{3}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
Nhưng điều này đúng vì \(xy+yz+zx\ge\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3\) và theo bổ đề bên trên. Từ đó ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
( Còn bài 2 để suy nghĩ rồi tối đăng cho nha )
Chứng minh \(P\ge\dfrac{1}{6}\)
\(\Leftrightarrow\sum\left(\dfrac{x}{16}-\dfrac{x}{y^3+16}\right)\le\dfrac{1}{48}\)
\(\Leftrightarrow\sum\left(\dfrac{xy^3}{y^3+16}\right)\le\dfrac{1}{3}\)
Mà ta có
\(\dfrac{x^3+8+8}{12}\ge x\)
\(\Leftrightarrow x\le\dfrac{x^3+16}{12}\)
\(\Rightarrow\sum\left(\dfrac{xy^3}{y^3+16}\right)\le\sum\left(\dfrac{xy^2}{12}\right)\)
Giờ chứng minh
\(xy^2+yz^2+zx^2\le4\)
\(x^2-5x+7+2m=0\Leftrightarrow x^2-5x+7=-2m\)
Xét hàm \(f\left(x\right)=x^2-5x+7\) trên \(\left[1;5\right]\)
\(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{5}{2}\in\left[1;5\right]\)
\(f\left(1\right)=3\) ; \(f\left(\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{3}{4}\) ; \(f\left(5\right)=7\)
\(\Rightarrow\) Pt đã cho có 2 nghiệm pb thuộc đoạn đã cho khi và chỉ khi:
\(\dfrac{3}{4}< -2m\le3\)
\(\Leftrightarrow-\dfrac{3}{2}\le m< \dfrac{3}{8}\)
Cả 4 đáp án đều sai là sao ta?
tại sao để pt đã cho có 2 nghiệm pb thuộc đoạn [1;5] thì \(\dfrac{3}{4}\le-2m\le3\) ạ?
Từ các giá trị tính toán được kết hợp với nhận xét \(a=1>0\) ta dễ dàng xác định được BBT của hàm \(f\left(x\right)\) trên [1;5] như sau:
x f(x) 1 5 5/2 3 3/4 7
Từ BBT ta thấy để đường thẳng \(y=-2m\) cắt đồ thị f(x) tại 2 điểm pb thì \(\dfrac{3}{4}< -2m\le3\) (nghĩa là bạn kẻ ngang 1 đường thẳng qua BBT thì đường thẳng đó cắt cả 2 nhánh của đồ thị khi và chỉ khi đường thẳng đó nằm giữa 2 giá trị \(\dfrac{3}{4}\) và 3, kiểu như đường gạch đứt trong hình)
Vậy cho em hỏi đường thẳng y=-2m đó cũng nằm giữ 3/4 và 7 mà ạ? Ta có thể viết \(\dfrac{3}{4}\le-2m\le7\) không ạ?
Nếu bạn kẻ ngang đường thẳng qua khu vực từ 3 đến 7 thì sẽ thấy nó chỉ cắt 1 nhánh bên phải (đồng nghĩa pt chỉ có 1 nghiệm)
Muốn có 2 nghiệm thì phải cắt 2 nhánh cơ
Rất trực quan và dễ hình dung, bạn cứ kẻ 1 đường nằm ngang, nó cắt 2 đường của BBT tại bao nhiêu điểm thì pt có bấy nhiêu nghiệm
Ví dụ như đường đứt phía trên, biểu diễn 1 giá trị mà \(3< -2m< 7\) , nó chỉ cắt 1 nhánh của đồ thị (nhánh bên phải) nên pt chỉ có 1 nghiệm (ko thỏa mãn)
À em hiểu rồi ^^. Em cảm ơn nhiều ạ.
Nhìn lại thì em vẫn còn chút thắc mắc. Cái đường đứt phía dưới ấy ạ, nó nằm giữa 3 và 3/4 và nó cũng nằm giữa 3/4 và 7, thì nó phải là \(\dfrac{3}{4}\le-2m\le7\) chứ ạ? Và cái chỗ 3/4 < -2m tại sao lại là dấu "=" mà không phải dấu "\(\le\)" như -2m \(\le\) 3 ạ? Em cảm ơn.
À, cái này thì bạn phải tưởng tượng hẳn đến đồ thị thực sự của 1 parabol
Để ý rằng giá trị \(\dfrac{3}{4}\) là giá trị của y tại \(x=\dfrac{5}{2}=-\dfrac{b}{2a}\) hay là đỉnh của parabol
1 đường thẳng đi ngang qua đỉnh của parabol thì nó tiếp xúc với parabol (đồng nghĩa pt có nghiệm kép, nghĩa là chỉ có 1 nghiệm)
Coi chừng cái này kẻo sai
Nên nếu biết đọc BBT thì biện luận nghiệm rất dễ, tại đỉnh luôn có nghiệm kép (nhận dạng đỉnh bằng cách nhìn BBT: đỉnh chính là vị trí mà tại đó các đường của BBT đổi hướng, ví dụ bạn thấy tại điểm 3/4 thì đồ thị nó đang đi xuống từ trái qua phải bỗng chuyển hướng đi lên, ta nhận được ra ngay đây là đỉnh)
Hoặc nếu đang đi lên chuyển qua đi xuống thì cũng là đỉnh (dạng ax^2+bx+c có a<0)