Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(-x^2+2x=t\Rightarrow0\le t\le1\)
\(\Rightarrow-t^2+t-3+m=0\)
\(\Leftrightarrow t^2-t+3=m\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2-t+3\) trên \(\left[0;1\right]\)
\(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2}\in\left[0;1\right]\)
\(f\left(0\right)=3\) ; \(f\left(1\right)=3\) ; \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{11}{4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{11}{4}\le f\left(t\right)\le3\)
\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi và chỉ khi \(\dfrac{11}{4}\le m\le3\)
a: Đặt \(t=\sqrt{x^2+1}\) (t>=1)
\(x^2-8\sqrt{x^2+1}+5-m=0\)
=>\(x^2+1-8\sqrt{x^2+1}+4-m=0\)
=>\(t^2-8t+4-m=0\)
=>\(m=t^2-8t+4\)
Đặt \(f\left(t\right)=t^2-8t+4\)
Đỉnh của (P) là:
\(t=-\frac{b}{2a}=\frac{8}{2\cdot1}=\frac82=4\)
\(f(1) = 1^2 - 8(1) + 4 = -3\)
\(f(4) = 4^2 - 8(4) + 4 = -12\)
Khi t->+∞ thì f(t)->+∞
Bảng biến thiên:
=>Tập giá trị của f(t) trên khoảng [1;+∞) là [-12;+∞)
=>Phương trình có nghiệm khi m>=-12
b: Đặt \(t=\sqrt{x^2+2x+5}\)
\(=\sqrt{x^2+2x+1+4}=\sqrt{\left(x+1\right)^2+4}\ge2\forall x\)
=>t>=2
\(t=\sqrt{x^2+2x+5}\)
=>\(x^2+2x+5=t^2\)
=>\(x^2+2x=t^2-5\)
Phương trình ban đầu sẽ trở thành:
\((t^2-5)-8t+3-m=0\)
=>\(m=t^2-8t-2\quad(\text{với }t\ge2)\)
Đặt (P): \(f\left(t\right)=t^2-8t-2\)
Đỉnh của (P) là: \(t=\frac{-\left(-8\right)}{2\cdot1}=\frac82=4\) ∈[2;+∞)
\(f(2)=2^2-8\cdot2-2=-14\)
\(f(4)=4^2-8\cdot4-2=-18\)
Khi t->+∞ thì f(t)->+∞
=>Tập giá trị của f(t) trên khoảng [2;+∞) là [-18;+∞)
=>Phương trình ban đầu có nghiệm khi m>=-18
ĐKXĐ: \(0\le x\le2\)
Đặt \(\sqrt{-x^2+2x}=a\Rightarrow0\le a\le1\)
BPT trở thành: \(-a^2+a-3+m\le0\)
\(\Rightarrow a^2-a+3\ge m\) (1)
Để (1) có nghiệm \(\Rightarrow m\le\max\limits_{\left[0;1\right]}\left(a^2-a+3\right)\)
Đặt \(f\left(a\right)=a^2-a+3\)
\(f\left(0\right)=3\) ; \(f\left(1\right)=3\); \(f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{11}{4}\)
\(\Rightarrow\max\limits_{\left[0;1\right]}f\left(a\right)=3\Rightarrow m\le3\)