Sửa đề: Để bất phương trình \(mx^2+2mx-3>0\) luôn đúng

TH1: m=0

BPT sẽ trở thành: \(0\cdot x^2+2\cdot0\cdot x-3>0\)

=>-3>0(vô lý)

=>Loại

TH2: m<>0

\(\Delta=\left(2m\right)^2-4\cdot m\cdot\left(-3\right)=4m^2+12m=4m\left(m+3\right)\)

Để BPT luôn đúng thì Δ<0 và a>0

=>4m(m+3)<0 và m>0

=>m(m+3)<0 và m>0

=>-3<m<0 và m>0

=>m∈∅

=>Loại

Vậy: m∈∅

\(\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\Delta'< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\1+m< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\m< -1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) m<-1.

Vậy với m<-1, yêu cầu bài toán thỏa mãn.

a: Trường hợp 1: m=0

Bất phương trình sẽ là \(0x^2+3\cdot0\cdot x+0+1>0\)

=>1>0(luôn đúng)

Trường hợp 2: m<>0

\(\text{Δ}=\left(3m\right)^2-4m\left(m+1\right)\)

\(=9m^2-4m^2-4m=5m^2-4m\)

Để phương trình có nghiệm đúng với mọi số thực x thì \(\left\{{}\begin{matrix}m\left(5m-4\right)< 0\\m>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow0< m< \dfrac{4}{5}\)

Vậy: 0<=m<4/5

b: Trường hợp 1: m=4

\(g\left(x\right)=\left(4-4\right)\cdot x^2+\left(2\cdot4-8\right)x+4-5=-1< 0\)(luôn đúng)

Trường hợp 2: m<>4

\(\text{Δ}=\left(2m-8\right)^2-4\left(m-4\right)\left(m-5\right)\)

\(=4m^2-32m+64-4\left(m^2-9m+20\right)\)

\(=4m^2-32m+64-4m^2+36m-80\)

=4m-16

Để bất phương trình luôn âm thì \(\left\{{}\begin{matrix}4m-16< 0\\m-4< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< 4\)

Vậy: m<=4

Bài 1 \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x-4\le0\\\left(m-1\right)x\ge2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le4\\\left(m-1\right)x\ge2\end{matrix}\right.\)

Nếu m = 1, hệ vô nghiệm

Nếu m ≠ 1, hệ tương đương

\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\x\le\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\x\ge\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Hệ có nghiệm khi một trong hai hệ trong hệ ngoặc vuông có nghiệm ⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\\dfrac{2}{m-1}\ge-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\\dfrac{2}{m-1}\le4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\-2\le1-m\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\2\le4m-4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\\dfrac{3}{2}\le m\le4\end{matrix}\right.\)

BÀi 1:

TH1: m=0

=>\(f\left(x\right)=0x^2-2\left(0-1\right)x+4\cdot0-1=2x-1\)

f(x)=2x-1 không thể luôn dương với mọi x

=>Loại

TH2: m<>0

\(\Delta=\left\lbrack-2\left(m-1\right)\right\rbrack^2-4m\left(4m-1\right)\)

\(=4\left(m^2-2m+1\right)-4m\left(4m-1\right)\)

\(=4m^2-8m+4-16m^2+4m=-12m^2-4m+4\)

Để f(x) luôn dương thì f(x)>0 với mọi x

=>Δ<0 và a>0

=>\(-12m^2-4m+4<0\) và m>0

=>\(3m^2+m-1\) >0 và m>0

=>\(m^2+\frac13m-\frac13>0\) và m>0

=>\(m^2+2\cdot m\cdot\frac16+\frac{1}{36}-\frac{13}{36}>0\) và m>0

=>\(\left(m+\frac16\right)^2>\frac{13}{36}\) và m>0

=>(\(m+\frac16>\frac{\sqrt{13}}{6}\) hoặc \(m+\frac16<-\frac{\sqrt{13}}{6}\) ) và m>0

=>(\(m>\frac{\sqrt{13}-1}{6}\) hoặc \(m<\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\) ) và m>0

=>\(m>\frac{\sqrt{13}-1}{6}\)

Chọn D

Hệ bất phương trình vô nghiệm  khi và chỉ khi m - 1 ≥ 3 hay m ≥ 4

Để bất phương trình luôn có nghiệm thì 

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)^2-4\cdot1\cdot5< 0\\1>=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2< 20\)

\(\Leftrightarrow-2\sqrt{5}+1< x< 2\sqrt{5}+1\)