Ta có : \(y'=3x^2-6x+m^2\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-6x+m^2=0\left(1\right)\)

Hàm số có cực trị \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)

                           \(\Leftrightarrow\Delta'=3\left(3-m^2\right)>0\Leftrightarrow-\sqrt{3}< m< \sqrt{3}\)

Phương trình đường thẳng d' đi qua các điểm cực trị là : \(y=\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x+\frac{1}{3}m^2\)

=> Các điểm cực trị là :

\(A\left(x_1;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_1+\frac{1}{3}m^2+3m\right);B\left(x_2;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_2+\frac{1}{3}m^2+3m\right);\)

Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d và d' :

\(\Rightarrow I\left(\frac{2m^2+6m+15}{15-4m^2};\frac{11m^2+3m-30}{15-4m^2}\right)\)

A và B đối xứng đi qua d thì trước hết \(d\perp d'\Leftrightarrow\frac{2}{3}m^2-2=-2\Leftrightarrow m=0\)

Khi đó \(I\left(1;-2\right);A\left(x_1;-2x_1\right);B\left(x_2;-2x_2\right)\Rightarrow I\) là trung điểm của AB=> A và B đối xứng nhau qua d

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm

4.

Để hàm trùng phương \(y=ax^4+bx^2+c\) có 2 cực tiểu và 1 cực đại

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\b< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\2-m< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m>2\)

3.

Để hàm trùng phương có 3 cực trị thì \(ab< 0\Leftrightarrow m>1\)

Khi đó:

\(y'=4x^3-4\left(m-1\right)x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-\sqrt{m-1}\\x=\sqrt{m-1}\end{matrix}\right.\)

Gọi 3 điểm có hoành độ nói trên lần lượt là A; B; C \(\Rightarrow\) tam giác ABC cân tại A

\(A\left(0;2\right)\) ; \(B\left(-\sqrt{m-1};-m^2+2m+1\right)\) ; \(C\left(\sqrt{m-1};-m^2+2m+1\right)\)

Gọi H là trung điểm BC

\(y_H=\frac{y_B+y_C}{2}=-m^2+2m+1\)

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}\left|y_A-y_H\right|.\left|x_B-x_C\right|\)

\(=\left(m-1\right)^2\sqrt{m-1}< 4\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^5< 32\Rightarrow m-1< 2\)

\(\Rightarrow m< 3\)

Vậy \(1< m< 3\)

Hàm trùng phương \(y=ax^4+bx^2+c\) có hệ số \(a>0\) đạt cực tiểu tại \(x=0\) khi và chỉ khi \(a.b\ge0\)

\(\Rightarrow1.\left(-2\left(m+1\right)\right)\ge0\Rightarrow m+1\le0\Rightarrow m\le-1\)

\(y'=3x^2-4x+m\)

Để hàm số đạt cực tiểu tai x = 1 thì x = 1 là nghiệm của y' và y' đổi dấu khi đi qua x = 1.

Để x = 1 là nghiệm của y' thì:

\(3.1^2-4.1+m=0\) \(\Rightarrow m=1\)

Với m = 1. khi đó: \(y'=3x^2-4x+1\) có 2 nghiệm là \(1\) và \(\dfrac{1}{3}\); \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x = 1. Vậy hàm số có cực tiểu tại x = 1.

a) Ta có : \(y'=3x^2+2\left(m-1\right)x+m\left(m-3\right)\)

Hàm số (1) có cực đại và cực tiểu nằm 2 phía đối với trục tung <=> phương trình : \(3x^2+2\left(m-1\right)x+m\left(m-3\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

\(\Leftrightarrow P< 0\Leftrightarrow m\left(m-3\right)< 0\Leftrightarrow0< m< 3\)

Vậy \(0< m< 3\) là giá trị cần tìm

b) Khi m = 1 ta có : \(y=x^3-2x\). 

Gọi \(M\left(a;a^3-2a\right)\in\left(C\right),a\ne0\)

Ta có \(y'=3x^2-2\) nên hệ số góc của \(\Delta\) là \(y'\left(a\right)=3a^2-2\)

Ta có \(\overrightarrow{OM}\left(a;a^3-2a\right)\) nên hệ số góc đường thẳng OM là \(k=a^2-2\)

Do đó : \(\Delta\perp OM\Leftrightarrow y'_a.k=-1\)

                           \(\Leftrightarrow\left(3a^2-2\right)\left(a^2-2\right)=-1\Leftrightarrow3a^4-8a^2+5=0\)

                \(M_1\left(1;-1\right);M_1\left(-1;1\right);M_3\left(-\frac{\sqrt{15}}{3};\frac{\sqrt{15}}{9}\right);M_4\left(\frac{\sqrt{15}}{3};-\frac{\sqrt{15}}{9}\right)\)          \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a^2=1\\a^2=\frac{5}{3}\end{array}\right.\)  \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a=\pm1\\a=\pm\frac{\sqrt{5}}{3}\end{array}\right.\)(Thỏa mãn)

Suy ra có 4 điểm thỏa mãn đề bài :\(M_1\left(1;-1\right);M_2\left(-1;1\right);M_3\left(-\frac{\sqrt{15}}{3};\frac{\sqrt{15}}{9}\right);M_4\left(\frac{\sqrt{15}}{3};-\frac{\sqrt{15}}{9}\right)\)

a) y = f(x) = x³ – 3mx² + 3(2m-1)x + 1

Tập xác định: D = R

y’= 3x² -6mx + 3(2m-1) = 3(x² – 2mx + 2m – 1)

Hàm số đồng biến trên D = R ⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ R

⇔ x² – 2mx + 2m - 1≥0, ∀x ∈ R

⇔ Δ’ = m² – 2m + 1 = (m-1)² ≤ 0 ⇔ m =1

b) Hàm số có một cực đại và một cực tiểu

⇔ phương trình y’= 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ (m-1)² > 0 ⇔ m≠1

c) f’’(x) = 6x – 6m > 6x

⇔ -6m > 0 ⇔ m < 0

\(\Leftrightarrow y'=0\) 

có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(x_1\)<\(x_2\)<1

\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}\Delta'=4m^2-m-5>0\\f\left(1\right)=-5m+7>0\\\frac{S}{2}=\frac{2m-1}{3}<1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{5}{4}\)<m<\(\frac{7}{5}\)

Câu 2:

$y'=-3x^2+6x+(m-2)=0$

Để hàm số có 2 điểm cực trị $x_1,x_2$ đồng nghĩa với PT $-3x^2+6x+(m-2)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$
$\Leftrightarrow \Delta'=9+3(m-2)>0\Leftrightarrow m>-1(1)$

Hai điểm cực trị cùng dương khi:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2>0\\ x_1x_2=\frac{m-2}{-3}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< 2(2)\)

Từ $(1);(2)\Rightarrow -1< m< 2$

Đáp án C.

Câu 2:

Để đths có 2 điểm cực trị thì trước tiên:

$y'=x^2-2mx+m^2-4=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

Điều này xảy ra khi $\Delta'=m^2-(m^2-4)>0\Leftrightarrow m\in\mathbb{R}$

Để 2 điểm cực trị của đồ thị $y$ nằm về hai phía của trục tung thì: $x_1x_2< 0$

$\Leftrightarrow m^2-4< 0$

$\Leftrightarrow -2< m< 2$

Đáp án A.