1.

Đặt \(\sqrt{x^2-4x+5}=t\ge1\Rightarrow x^2-4x=t^2-5\)

Pt trở thành:

\(4t=t^2-5+2m-1\)

\(\Leftrightarrow t^2-4t+2m-6=0\) (1)

Pt đã cho có 4 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb đều lớn hơn 1

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=4-\left(2m-6\right)>0\\\left(t_1-1\right)\left(t_2-1\right)>0\\\dfrac{t_1+t_2}{2}>1\\\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10-2m>0\\t_1t_2-\left(t_1+t_1\right)+1>0\\t_1+t_2>2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 5\\2m-6-4+1>0\\4>2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\dfrac{9}{2}< m< 5\)

2.

Để pt đã cho có 2 nghiệm:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne3\\\Delta'=1+4\left(m-3\right)\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne3\\m\ge\dfrac{11}{4}\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(x_1^2+x_2^2=4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{\left(m-3\right)^2}+\dfrac{8}{m-3}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(m-3\right)^2}+\dfrac{2}{m-3}-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{1}{m-3}=-1-\sqrt{2}\\\dfrac{1}{m-3}=-1+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4-\sqrt{2}< \dfrac{11}{4}\left(loại\right)\\m=4+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Đặt \(-x^2+2x=t\Rightarrow0\le t\le1\)

\(\Rightarrow-t^2+t-3+m=0\)

\(\Leftrightarrow t^2-t+3=m\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2-t+3\) trên \(\left[0;1\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2}\in\left[0;1\right]\)

\(f\left(0\right)=3\) ; \(f\left(1\right)=3\) ; \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{11}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{11}{4}\le f\left(t\right)\le3\)

\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi và chỉ khi \(\dfrac{11}{4}\le m\le3\)

a: Đặt \(t=\sqrt{x^2+1}\) (t>=1)

\(x^2-8\sqrt{x^2+1}+5-m=0\)

=>\(x^2+1-8\sqrt{x^2+1}+4-m=0\)

=>\(t^2-8t+4-m=0\)

=>\(m=t^2-8t+4\)

Đặt \(f\left(t\right)=t^2-8t+4\)

Đỉnh của (P) là:

\(t=-\frac{b}{2a}=\frac{8}{2\cdot1}=\frac82=4\)

\(f(1) = 1^2 - 8(1) + 4 = -3\)

\(f(4) = 4^2 - 8(4) + 4 = -12\)

Khi t->+∞ thì f(t)->+∞

Bảng biến thiên:

=>Tập giá trị của f(t) trên khoảng [1;+∞) là [-12;+∞)

=>Phương trình có nghiệm khi m>=-12

b: Đặt \(t=\sqrt{x^2+2x+5}\)

\(=\sqrt{x^2+2x+1+4}=\sqrt{\left(x+1\right)^2+4}\ge2\forall x\)

=>t>=2

\(t=\sqrt{x^2+2x+5}\)

=>\(x^2+2x+5=t^2\)

=>\(x^2+2x=t^2-5\)

Phương trình ban đầu sẽ trở thành:

\((t^2-5)-8t+3-m=0\)

=>\(m=t^2-8t-2\quad(\text{với }t\ge2)\)

Đặt (P): \(f\left(t\right)=t^2-8t-2\)

Đỉnh của (P) là: \(t=\frac{-\left(-8\right)}{2\cdot1}=\frac82=4\) ∈[2;+∞)

\(f(2)=2^2-8\cdot2-2=-14\)

\(f(4)=4^2-8\cdot4-2=-18\)

Khi t->+∞ thì f(t)->+∞

=>Tập giá trị của f(t) trên khoảng [2;+∞) là [-18;+∞)

=>Phương trình ban đầu có nghiệm khi m>=-18

\(x-4\sqrt{x+3}+m=0\)

\(\Leftrightarrow x+3-4\sqrt{x+3}-3+m=0\left(1\right)\)

\(đăt:\sqrt{x+3}=t\left(t\ge0\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow t^2-4t-3+m=0\Leftrightarrow f\left(t\right)=t^2-4t-3=-m\left(2\right)\)

\(\left(1\right)-có-2ngo-phân-biệt\Leftrightarrow\left(2\right)có-2ngo-phân-biệt-thỏa:t\ge0\)

\(\Rightarrow f\left(0\right)=-3\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)min=\dfrac{-\Delta}{4a}=-7\Leftrightarrow t=2\)

\(\Rightarrow-7< -m\le-3\Leftrightarrow3\le m< 7\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm\(x^2\)+4x-m=0 <=> x^2+4x=m, đây là kết hợp của 2 hàm số (P):y=\(x^2\)+4x và (d):y=m.
Khi vẽ đồ thị ta thấy parabol đồng biến trên khoảng (-2;+∞)=> Điểm giao giữa parabol và đồ thị y=m là điểm duy nhất thỏa mãn phương trình có duy nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-3;1).Vậy để phương trình có 1 nghiệm duy nhất <=> delta=0 <=>16+4m=0<=>m=-4.

mình trình bày hơi dài mong bạn thông cảm   

Ta có: \(-x^2+mx+4-m^2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-mx+m^2-4=0\)

Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì (m-2)(m+2)<0

hay -2<m<2