ĐKXĐ: n-1>=4

=>n>=5

Ta có: \(4\cdot C_{n-1}^4-4\cdot C_{n-1}^3<5\cdot A_{n-2}^2\)

=>\(4\cdot\frac{\left(n-1\right)!}{\left(n-1-4\right)!\cdot4!}-4\cdot\frac{\left(n-1\right)!}{\left(n-1-3\right)!\cdot3!}<5\cdot\frac{\left(n-2\right)!}{\left(n-2-2\right)!}\)

=>\(\frac{4\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n-4\right)}{24}-\frac{4\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{6}\) <5*\(\frac{\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{1}\)

=>\(\frac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n-4\right)-4\cdot\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{6}<\frac{30\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{6}\)

=>(n-1)(n-2)(n-3)(n-4-4)<30(n-2)(n-3)

=>(n-1)(n-2)(n-3)(n-8)-30(n-2)(n-3)<0

=>(n-3)(n-2)[(n-1)(n-8)-30]<0

=>(n-1)(n-8)-30<0

=>\(n^2-9n+8-30<0\)

=>\(n^2-9n-22<0\)

=>(n-11)(n+2)<0

=>n-11<0

=>n<11

mà n>=5

nên 5<=n<11

mà n là số nguyên dương

nên n∈{5;6;7;8;9;10}

=>Có 6 giá trị nguyên dương n thỏa mãn

Bạn sửa lại dòng thứ 5 của câu 1 giúp mình:

\(-\frac{1}{24}\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n+2\right)\left(n-11\right)\)

2)

\(Y_n=\frac{\frac{\left(n+4\right)!}{n!}}{\left(n+2\right)!}-\frac{143}{4.n!}\)

\(=\frac{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}{n!}-\frac{143}{4n!}\)

\(=\frac{1}{4n!}\left(2n+19\right)\left(2n-5\right)\)

\(Y_n< 0\)

<=> \(\frac{1}{4n!}\left(2n+19\right)\left(2n-5\right)\)<0

<=> \(\left(2n+19\right)\left(2n-5\right)< 0\)

<=> \(-\frac{19}{2}< n< \frac{5}{2}\)

Đối chiếu với n \(\ge\)1 và n là số tự nhiên

ta có: n = 1 hoặc n = 2

Vậy các số hạng âm của dãy số ( Y_n) là:

\(Y_1=-\frac{63}{4};Y_2=-\frac{23}{8}\)

1) \(X_n=\frac{5}{4}.\frac{\left(n-2\right)!}{\left(n-4\right)!}-\frac{\left(n-1\right)!}{4!\left(n-5\right)!}+\frac{\left(n-1\right)!}{3!\left(n-4\right)!}\)

\(=\frac{5}{4}.\left(n-2\right)\left(n-3\right)-\frac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n-4\right)}{24}+\frac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{6}\)

= \(\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(\frac{5}{4}-\frac{\left(n-1\right)\left(n-4\right)}{24}+\frac{n-1}{6}\right)\)

= \(\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(-\frac{n^2}{24}+\frac{3n}{8}+\frac{11}{12}\right)\)

= - \(\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n+2\right)\left(n-11\right)\)

Để \(X_n>0\)

<=> \(\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n+2\right)\left(n-11\right)\) < 0

<=> n \(\in\left(-2;2\right)\cup\left(3;11\right)\)

Đối chiếu đk n \(\ge\)5

ta có n \(\in\) [ 5; 11 ) và n là số tự nhiên.

Các số hạng dương là:

\(X_5;X_6;...;X_{10}\) ( tự thay vào rồi tính kết quả nhé)

VD: \(X_5=\frac{5}{4}.A^2_3-C^4_4+C^3_4=\frac{21}{2}\)

ĐKXĐ: x+6>=3

=>x>=-3

Ta có: \(C_{x+8}^{x+3}=5\cdot A_{x+6}^3\)

=>\(\frac{\left(x+8\right)!}{\left(x+3\right)!\cdot\left(x+8-x-3\right)!}=5\cdot\frac{\left(x+6\right)!}{\left(x+6-3\right)!}\)

=>\(\frac{\left(x+8\right)\left(x+7\right)\left(x+6\right)\left(x+5\right)\left(x+4\right)}{5!}=\frac{5\cdot\left(x+6\right)\left(x+5\right)\left(x+4\right)}{1}\)

=>(x+8)(x+7)(x+6)(x+5)(x+4)=600(x+6)(x+5)(x+4)

=>(x+8)(x+7)=600

=>\(x^2+15x+56-600=0\)

=>\(x^2+15x-544=0\)

=>(x+32)(x-17)=0

=>x=-32(loại) hoặc x=17(nhận)

ĐKXĐ: x+6>=3

=>x>=-3

Ta có: \(C_{x+8}^{x+3}=5\cdot A_{x+6}^3\)

=>\(\frac{\left(x+8\right)!}{\left(x+3\right)!\cdot\left(x+8-x-3\right)!}=5\cdot\frac{\left(x+6\right)!}{\left(x+6-3\right)!}\)

=>\(\frac{\left(x+8\right)\left(x+7\right)\left(x+6\right)\left(x+5\right)\left(x+4\right)}{5!}=\frac{5\cdot\left(x+6\right)\left(x+5\right)\left(x+4\right)}{1}\)

=>(x+8)(x+7)(x+6)(x+5)(x+4)=600(x+6)(x+5)(x+4)

=>(x+8)(x+7)=600

=>\(x^2+15x+56-600=0\)

=>\(x^2+15x-544=0\)

=>(x+32)(x-17)=0

=>x=-32(loại) hoặc x=17(nhận)

Xét \(x\ne1\)

\(\left(1+x+...+x^{10}\right)^{11}=a_0+a_1x+...+a_{110}x^{110}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^{11}\left(1+x+...+x^{10}\right)^{11}=\left(x-1\right)^{11}\left(a_1+a_1x+...+a_{110}x^{110}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^{11}-1\right)^{11}=\left(x-1\right)^{11}\left(a_0+a_1x+...+a_{110}x^{110}\right)\)

\(VP=\left(x-1\right)^{11}\left(a_0+a_1x+...\right)=\left(\sum\limits^{11}_{k=0}C_{11}^kx^k\left(-1\right)^{11-k}\right)\left(a_0+a_1x+...\right)\) (1)

Ta thấy tổng các hệ số của \(x^{11}\) trong khai triển (1) là:

\(C_{11}^0\left(-1\right)^{11}.a_{11}+C_{11}^1\left(-1\right)^{10}a_{10}+C_{11}^2\left(-1\right)^9a_9+...+C_{11}^{11}\left(-1\right)^0a_0\)

\(=-C_{11}^0a_{11}+C_{11}^1a_{10}-C_{11}^2a_9+...+C_{11}^{11}a_0=-T\)

\(VT=\sum\limits^{11}_{k=0}C_{11}^k\left(x^{11}\right)^k.\left(-1\right)^{11-k}\)

Hệ số của \(x^{11}\) trong khai triển trên là \(C_{11}^1\left(-1\right)^{10}=C_{11}^1=11\)

Mà \(VT=VP\Rightarrow-T=11\Rightarrow T=-11\)

1=(2n+1)C0, (2n+1)Cn=(2n+1)C(n+1)...