2/

Nếu x = 0 thì 5^y = 2^0 + 624 = 1 + 624 = 625 = 5^4 =>y = 4 ( y \(\in\) N) 
Nếu x khác 0 thì vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ với mọi x, y \(\in\) N : vô lý
Vậy: x = 0, y = 4 

3/Ta có: 10^n + 18n - 1 = (10^n - 1) + 18n = 99...9 + 18n (số 99...9 có n chữ số 9) 
= 9(11...1 + 2n) (số 11...1 có n chữ số 1) = 9.A 
Xét biểu thức trong ngoặc A = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n (số 11...1 có n chữ số 1). 
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Số 11...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là 1 + 1 + ... + 1 = n (vì có n chữ số 1). 
=> 11...1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 11...1 (n chữ số 1) - n chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 => 9.A chia hết cho 27 hay 10^n + 18n - 1 chia hết cho 27 (đpcm)

Có  \(4n-5⋮2n-1\)

\(\Rightarrow2\left(2n-1\right)-3⋮2n-1\)

Do  \(2\left(2n-1\right)⋮2n-1\)

\(\Rightarrow-3⋮2n-1\)

\(\Rightarrow2n-1\inƯ\left(-3\right)\)

\(\Rightarrow2n-1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

Ta có bảng sau :

\(\left(\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{8.9.10}\right).x=\frac{23}{45}\)

\(\frac{1}{2}.\left(\frac{3-1}{1.2.3}+\frac{4-2}{2.3.4}+...+\frac{10-8}{8.9.10}\right).x=\frac{23}{45}\)

\(\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{8.9}-\frac{1}{9.10}\right).x=\frac{23}{45}:\frac{1}{2}\)

\(\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{9.10}\right).x=\frac{46}{45}\)

\(\frac{22}{45}.x=\frac{46}{45}\)

\(x=\frac{46}{45}:\frac{22}{45}\)

\(x=\frac{23}{11}\)

\(\left(\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+....+\frac{1}{8.9.10}\right).x=\frac{23}{45}\)

Ta có:\(\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{8.9.10}=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{8.9}-\frac{1}{9.10}\right)=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{9.10}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{22}{45}=\frac{11}{45}\)

=>\(\frac{11}{45}\cdot x=\frac{23}{45}\)

=>11x=23

=>x=23/11

\(\frac{2}{2}.\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{21}+...+\frac{2}{x+\left(x+1\right)}\right)=\frac{12}{25}\)

\(2.\left(\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{x.\left(x+1\right)}\right)=\frac{12}{25}\)

\(2.\left(\frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+...+\frac{1}{x.\left(x+1\right)}\right)=\frac{12}{25}\)

\(2.\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)=\frac{12}{25}\)

\(2.\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{x+1}\right)=\frac{12}{25}\)

\(\frac{1}{2}-\frac{2}{x+1}=\frac{12}{25}\)

\(\frac{2}{x+1}=\frac{1}{2}-\frac{12}{25}\)

\(\frac{2}{x+1}=\frac{1}{50}\)

(x+1).1=50.2

x+1=100

x=100-1

x=99

Ta có n² -n+1\(⋮\)n-1=n(n-1)\(⋮\)n-1

\(\Leftrightarrow\)1\(⋮\)n-1

\(\Leftrightarrow\)n-1\(\in\)U(1)=1

\(\Leftrightarrow\)n-1=1

\(\Rightarrow n=2\)

Vậy để (n²-n+1)⋮n-1 thì n =2