Câu hỏi của OoO Kún Chảnh OoO - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Lời giải:

Nếu $n=3k$ với $k$ tự nhiên.

$f(x)=x^{6k}+x^{3k}+1=(x^{6k}-1)+(x^{3k}-1)+3$

$=(x^3)^{2k}-1+(x^3)^k-1+3$

$=(x^3-1)[(x^3)^{2k-1}+....+1]+(x^3-1)[(x^3)^{k-1}+...+1]+3$
$=(x-1)(x^2+x+1)[(x^3)^{2k-1}+....+1]+(x-1)(x^2+x+1)[(x^3)^{k-1}+...+1]+3$

$=(x-1)g(x)[(x^3)^{2k-1}+....+1]+(x-1)g(x)[(x^3)^{k-1}+...+1]+3$

$\Rightarrow f(x)$ chia $g(x)$ dư $3$ (loại) 

Nếu $n=3k+1$ với $k$ tự nhiên

\(f(x)=x^{2(3k+1)}+x^{3k+1}+1=x^{6k+2}+x^{3k+1}+1\\ =x^2(x^{6k}-1)+x(x^{3k}-1)+x^2+x+1\)

$=x^2[(x^3)^{2k}-1]+x[(x^3)^k-1]+x^2+x+1$

$=x^2(x^3-1)[(x^3)^{2k-1}+....+1]+x(x^3-1)[(x^3)^{k-1}+...+1]+x^2+x+1$
$=x^2(x-1)(x^2+x+1)[(x^3)^{2k-1}+....+1]+x(x-1)(x^2+x+1)[(x^3)^{k-1}+...+1]+x^2+x+1$

$=x^2(x-1)g(x)[(x^3)^{2k-1}+....+1]+x(x-1)g(x)[(x^3)^{k-1}+...+1]+g(x)\vdots g(x)$

Nếu $n=3k+2$ với $k$ tự nhiên

\(f(x)=x^{2(3k+2)}+x^{3k+2}+1=x^{6k+4}+x^{3k+2}+1\)

\(=x^4(x^{6k}-1)+x^2(x^{3k}-1)+x^4+x^2+1\)

$=x^4(x^{6k}-1)+x^2(x^{3k}-1)+x(x^3-1)+x^2+x+1$

Có:

$x^{6k}-1=(x^3)^{2k}-1\vdots x^3-1\vdots x^2+x+1$

$x^{3k}-1=(x^3)^k-1\vdots x^3-1\vdots x^2+x+1$

$x^3-1\vdots x^2+x+1$

$x^2+x+1\vdots x^2+x+1$

$\Rightarrow f(x)\vdots x^2+x+1$ hay $f(x)\vdots g(x)$

Vậy tóm lại với $n\not\vdots 3$ thì $f(x)\vdots g(x)$

Đơn giản là sét số dư của n khi chia cho 3 

+) Nếu n = 3k ( k thuộc N ) 

x^2n + x^n + 1 = x^6k + x^3k + 1 = ( x^6k - 1 ) + ( x^3k - 1 ) + 3 

x^6k - 1 , x^3k - 1 :/ x^3 - 1 :/ ( x² + x + 1 ) 

=> x^2n + x^n + 1 chia x² + x + 1 dư 2 => Vô lý 

+) n = 3k + 2 

x^2n + x^n + 1 = x.x^(3(2k+1)) + x².x^3k + 1 = x( x^(3(2k+1) - 1 ) + x²( x^3k - 1 ) + ( x² + x + 1 ) 

x( x^(3(2k+1) - 1 ) + x²( x^3k - 1 ) + ( x² + x + 1 ) :/ x² + x + 1 

=> n = 3k + 2 thỏa mán đề bài 

làm tương tự trường hợp n = 3k + 1 cũng thỏa mãn đề bài 

Vậy mọi n có dạng 3k + 2 hoặc 3k + 1 đều thỏa mãn đề bài 

- - - - - - - - - 

Chú ý :/ là chia hết , x^3k - 1 luôn chia hết cho x² + x + 1

 n = 3k + 2 x^2n + x^n + 1 = x.x^(3(2k+1)) + x².x^3k + 1 = x( x^(3(2k+1) - 1 ) + x²( x^3k - 1 ) + ( x² + x + 1 ) x( x^(3(2k+1) - 1 ) + x²( x^3k - 1 ) + ( x² + x + 1 ) :/ x² + x + 1 đoạn này mk chưa hiểu lắm

Xét n=3k,  n=3k+1, n=3k+2 ta có trường hợp đầu có số dư hai trường hợp sao dư bằng 0 nên n là số tự nhiên chia hết cho 3

bn lm rõ hơn đc ko ạ

Đặt \(P\left(x\right)=x^{2n}+x^{n}+1;Q\left(x\right)=x^2+x+1\)

Để P(x)⋮Q(x) thì các nghiệm của Q(x)=0 cũng phải là các nghiệm của P(x)

mà \(x^2+x+1\) =0 không có nghiệm thực(Do \(x^2+x+1=x^2+x+\frac14+\frac34=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34>0\forall x\in R\) )

nên Gọi a là nghiệm phức của Q(x)=0

Khi đó, ta sẽ có: \(a^2+a+1=0;a^3=1\)

Để P(x)⋮Q(x) thì P(a)=0

=>\(P(a)=a^{2n}+a^{n}+1=0\)

TH1: n=3k(k∈N)

\(P(a)=(a^3)^{2k}+(a^3)^{k}+1=1^{2k}+1^{k}+1=1+1+1=3<>0\)

=>Loại

TH2: n=3k+1

\(P(a)=(a^3)^{2k}\cdot a^2+(a^3)^{k}\cdot a+1=a^2+a+1=0\)

=>Nhận

TH3: n=3k+2

\(P(a)=(a^3)^{2k}\cdot a^4+(a^3)^{k}\cdot a^2+1=a^4+a^2+1\)

\(=a^2+a+1=0\)

=>Nhận

Vậy: n không chia hết cho 3