Rút gọn:

A=(a+b+c)^3+(a−b−c)^3−6a(b+c)^2

Tìm x để A chia hết cho B

A=3x^4+x^3+6x−5;B=x^2+1

Rút gọn biểu thức: 

A, Biến đổi vế phải

$\begin{array}{c}{\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2\\ =a^2-2ab+b^2+4ab\\ =\left(a^2-2ab+b^2\right)+4ab\\ ={\left(a-b\right)}^2+4ab\end{array}$$\begin{array}{rl}& {\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2\\ & =a^2-2ab+b^2+4ab\\ & =\left(a^2-2ab+b^2\right)+4ab\\ & ={\left(a-b\right)}^2+4ab\end{array}$

Vậy ${\left(a+b\right)}^2={\left(a-b\right)}^2+4ab$

B, biến đổi vế trái

(a-b)² = (a+b)² -4ab

=a² - 2ab + b²

=(a-b)²

C, x²-6x+10 > 0 với mọi x

x²-6x+10 = x² - 6x + 9 + 1

= (x-3)²+1

vì (x-3)² ≥ 0

=>(x-3)²+1>0

D, x²-6x+10> 0 với mọi x (giúp e bài này ạ)

E, 4x - x²-5 = x²+4x-4-1

= -(x²+4x+4)²-1

= -(x-2)²-1

=> -(x-2)²-1< 0

+)Bài 4.2 trang 28 SBT Toán 8 như sau:
Cho hai phân thức $\frac{1}{x^2+ax-2}$ , $\frac{2}{x^2+5x+b}$. Hãy xác định a và b biết rằng khi quy đồng mẫu thức chúng trở thành những phân thức có mẫu thức chung là${\mathrm{.\; Viết\; tường\; minh\; hai\; phân\; thức\; đã\; cho\; và\; hai\; phân\; thức\; thu\; được\; sau\; khi\; quy\; đồng\; với\; mẫu\; thức\; chung\; là}}^{}$
$x^3+4x^2+x-6$.

Cách giải của sách cũng như INTERNET là:

*Chia \(x^3+4x^2+x-6\) cho x²+ax+2 được thương là x +4 -a

Vì phép chia này là phép chia hết nên số dư phải bằng 0

$\Rightarrow a\left(4-a\right)=3$$\Rightarrow a\left(4-a\right)=3$ (1) và $2a-8=-6$$2a-8=-6$ (2)

Từ (2) $\Rightarrow 2a-8=-6\Rightarrow a=1$$\Rightarrow 2a-8=-6\Rightarrow a=1$

a = 1 thỏa mãn (1) ta có phân thức $\frac{1}{x^2+x-2}$$\frac{1}{x^2+x-2}$

*Chia \(x^3+4x^2+x-6\) cho x²+5x+b được thương là x-1

Vì phép chia này là phép chia hết nên số dư phải bằng 0

$\Rightarrow \left(1-b\right)=-5$$\Rightarrow \left(1-b\right)=-5$ (3) và – b = − 6 (4)

Từ (4) ⇒ − b = − 6 ⇒ b = 6

b = 6 thỏa mãn (3) ta có phân thức $\frac{2}{x^2+5x+6}$$\frac{2}{x^2+5x+6}$

$\begin{array}{c}\frac{1}{x^2+x-2}=\frac{\left(x+3\right)}{\left(x^2+x-2\right)\left(x+3\right)}=\frac{x+3}{x^3+4x^2+x-6}\\ \frac{2}{x^2+5x+6}=\frac{2\left(x-1\right)}{\left(x^2+5x+6\right)\left(x-1\right)}=\frac{2x-2}{x^3+4x^2+x-6}\end{array}$

+) Mặt khác lại có cách giải như sau:

Để những phân thức có mẫu chung là \(x^3+4x^2+x-6\)

<=> \(x^3+4x^2+x-6\) chia hết cho x² +ax -2

và \(x^3+4x^2+x-6\) chia hết cho x² + 5x +6

<=> x² +ax -2 =( \(x^3+4x^2+x-6\) ) : Q(x) thuộc N

và x² + 5x +6 = (\(x^3+4x^2+x-6\)) : R(x) thuộc N

=> Xét giá trị với nghiệm của \(x^3+4x^2+x-6\) là :1;-2;-3

+)Với x = 1 thì \(\left\{{}\begin{matrix}1+a-2=0\\1+5+b=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=-6\end{matrix}\right.\)

+) Tương tự ta có:\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=6\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{7}{3}\\b=6\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Có 3 cặp kết quả thích hợp

**** Câu hỏi : Cách 1 có 1 cặp kết quả , cách 2 có 3 cặp kết quả . Hỏi cách nào sai và sai chỗ nào , giải thích( cách 2 là cách của tôi sử dụng phương pháp xét giá trị riêng)?

@Akai Haruma @Nguyễn Huy Tú @Nguyễn Thanh Hằng help me

Tìm x

a) (2x−1).(2x+1)−4x^2=3

b) 5x. (x−3)^2−5. (x−1)^3+15.(x+2) . (x−2)=5