Ok, ta cùng giải bài toán này nhé:

Đề: Tìm các số nguyên tố \(p , q\) sao cho cả \(p + q\) và \(p q + 11\) đều là số nguyên tố.

Bước 1. Giả sử \(p \leq q\).

• \(p + q\) phải là số nguyên tố.
  Nếu \(p , q > 2\) thì \(p + q\) chẵn (tổng của hai số lẻ), mà số nguyên tố chẵn duy nhất là \(2\).
  → Khi đó \(p + q = 2 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } p = q = 1\), không phải số nguyên tố.
  ⟹ Trường hợp này loại.

👉 Vậy phải có một trong hai số bằng 2.

Bước 2. Trường hợp \(p = 2\).

Khi đó:

\(p + q = 2 + q \text{ph}ả\text{i}\&\text{nbsp};\text{nguy} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} .\)

Rõ ràng với mọi \(q\) nguyên tố, \(2 + q\) sẽ là số nguyên tố (trừ khi nó ra số chẵn > 2).

Xét điều kiện còn lại:

\(p q + 11 = 2 q + 11 \text{ph}ả\text{i}\&\text{nbsp};\text{nguy} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} .\)

• Nếu \(q = 2\): \(p + q = 4\) không nguyên tố ⟹ loại.
• Nếu \(q = 3\): \(p + q = 5\) nguyên tố, và \(2 \cdot 3 + 11 = 17\) nguyên tố ⟹ (p,q)=(2,3) thỏa mãn.
• Nếu \(q = 5\): \(p + q = 7\) nguyên tố, nhưng \(2 \cdot 5 + 11 = 21\) không nguyên tố ⟹ loại.
• Nếu \(q = 7\): \(p + q = 9\) không nguyên tố ⟹ loại.
• Nếu \(q = 11\): \(p + q = 13\) nguyên tố, nhưng \(2 \cdot 11 + 11 = 33\) không nguyên tố ⟹ loại.
• Nếu \(q = 13\): \(p + q = 15\) không nguyên tố ⟹ loại.
• Nếu \(q = 17\): \(p + q = 19\) nguyên tố, nhưng \(2 \cdot 17 + 11 = 45\) không nguyên tố ⟹ loại.

Thử thêm vài giá trị lớn hơn: \(2 q + 11\) thường ra số chẵn hoặc hợp số, rất khó nguyên tố.

Bước 3. Trường hợp \(q = 2\).

Hoàn toàn tương tự (do đối xứng \(p , q\)).

• Nếu \(p = 3\): \(p + q = 5\) nguyên tố, \(3 \cdot 2 + 11 = 17\) nguyên tố ⟹ (p,q)=(3,2) cũng thỏa.

✅ Kết luận:

Các nghiệm duy nhất là:

\(\left(\right. p , q \left.\right) = \left(\right. 2 , 3 \left.\right) \text{ho}ặ\text{c} \left(\right. 3 , 2 \left.\right) .\)

Cảm ơn ạ =3

Vì p,q đều là số nguyên tố mà p-q cũng là số nguyên tố nên p và q khác tính chẵn lẻ.

Suy ra: q=2 (Vì p>q; p, q đều lad số nguyên tố)

+, Nếu p=3 : Thỏa mãn.

+, Nếu p>3 : Xét 2 TH: p=3k+1 (k thuộc N*) hoặc p=3k+2(k thuộc N*)

 -p=3k+1 => p+q=3k+1+2=3k+3  là hợp số

 -p=3k+2 : Tương tự có p-q là hợp số.

Vậy q=2, p=3.

3-2=1 => p-q đâu là số nguyên tố ?

Ta có 46y là số chẵn với mọi y.

Nếu x là SNT lớn hơn 2=> 59x lẻ=>59x+46y lẻ(ko thỏa mãn đề bài)

=>x chẵn. Mà chỉ có số 2 là SNT chẵn duy nhất =>x=2

=>y=(2004-59.2)/46=41 

bài 1: x=2 ; y=41

bài 2: 3

Số p có một trong ba dạng : 3k ; 3k + 1 ; 3k + 2 với k thuộc N*

Nếu p = 3k thì p = 3 ( vì p là số nguyên tố ), khi đó p + 2 = 5 ; p + 4 = 7 đều là các số nguyên tố.

Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 2 là hợp số 

Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 4 là hợp số.

=> p = 3

vì các số nguyên tố đều là số lẻ (có số 2 là chẵn nhưng ở đây không làm cững biết là không thỏa mãn với yêu cầu đề bài rồi ) ta xét số 3

3+2=5 (là 1 số nguyên tố)

3+4=7(là 1 số nguyên tố)

vậy p=3

a) VD: \(a=4;b=5\) có \(a^2+b^2=4^2+5^2=16+25=41\) là số nguyên tố 

Mà \(a+b=4+5=9\) là hợp số 

\(\Rightarrow\)Mệnh đề " Nếu \(a^2+b^2\) là số nguyên tố thì \(a+b\)cũng là số nguyên tố " sai 

b) Ta có : \(a^2-b^2=\left(a^2-ab\right)+\left(ab-b^2\right)\) 

\(\Rightarrow a^2-b^2=a\left(a-b\right)+b\left(a-b\right)\)

\(\Rightarrow a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)

+) Nếu \(a-b>1\)

\(\Rightarrow a^2-b^2⋮\left(a+b\right)\) và \(a^2-b^2⋮\left(a-b\right)\)

\(\Rightarrow a^2-b^2\) là hợp số 

\(\Rightarrow\)Mâu thuẫn 

\(\Rightarrow a-b=1\)

\(\Rightarrow a^2-b^2=a+b\)

Mà \(a^2-b^2\) là số nguyên tố 

\(\Rightarrow a+b\) là số nguyên tố 

\(\Rightarrow\) Mệnh đề :  " Nếu \(a>b\) và \(a^2-b^2\)là số nguyên tố thì \(a+b\) cũng là số nguyên tố " đúng   

Không vì nếu p lẻ thì p+5 chẵn =>p+5 là hợp số

nếu p lẻ thì p+10 chẵn =.p+10 là hợp số

- Nếu p là số nguyên tố chẵn (p = 2) thì p + 10 là số chẵn chia hết cho 2, là hợp số, loại

- Nếu p là số nguyên tố lẻ thì p  + 5 là số chẵn chia hết cho 2, là hợp số, loại

Vậy không có số nguyên tố p thỏa mãn đề bài

a)nếu p=2 thì :

p+10=2+10=12 là hợp số(loại)

nếu p=3 thì:

p+10=3+10=13 là số nguyên tố 

p+14=3+14=17 là số nguyên tố

(thỏa mãn)

nếu p>3 thì:

p sẽ bằng 3k+1 hoặc 3k+2

trường hợp 1:p=3k+1

nếu p=3k+1 thì:

p+14=3k+1+14=3k+15=3 nhân (k+5)chia hết cho 3(3 chia hết cho3) là hợp số(loại)

trường hợp 2:p=3k+2

nếu p=3k+2 thì:

p+10=3k+2+10=3k+12=3 nhân (k + 4)chia hết cho 3(3 chia hết cho 3)là hợp số (loại)

vậy nếu  p>3 thì không có giá trị nào thỏa mãn

vậy p=3

b)nếu q=2 thì :

q+10=2+10=12 là hợp số(loại)

nếu q=3 thì:

q+2=3+2=5 là số nguyên tố 

q+10=3+10=13 là số nguyên tố

(thỏa mãn)

nếu q>3 thì:

q sẽ bằng 3k+1 hoặc 3k+2

trường hợp 1:q=3k+1

nếu q=3k+1 thì:

q+2=3k+1+2=3k+3=3 nhân (k+1)chia hết cho 3(3 chia hết cho3) là hợp số(loại)

trường hợp 2:q=3k+2

nếu q=3k+2 thì:

q+10=3k+2+10=3k+12=3 nhân (k + 4)chia hết cho 3(3 chia hết cho 3)là hợp số (loại)

vậy nếu  q>3 thì không có giá trị nào thỏa mãn

vậy q=3