1. số nguyên tố p không thể có dạng 3n + 1 (tức chia 3 dư 1) vì lúc đó 
p + 1994 = 3n + 1995 = 3*(n + 665) là tích 2 số đều > 2 nên là hợp số. Số nguyên tố p cũng không thể có dạng 3n + 2 (tức chia 3 dư 2) vì lúc đó p + 94 = 3n + 96 = 3*(n + 32) là tích 2 số đều > 2 nên là hợp số. Vậy p phải chia hết cho 3, mà p là số nguyên tố nên p = 3. 
=> chỉ có 1 số nguyên tố thỏa mãn đk. 

2. Bạn ghi lại vì không có cặp (x, y, z, t) thỏa mãn đk. Ví dụ làm gì có x sao cho 27/4 = -x/3 vì lúc đó x = -81 / 4 đâu có là số nguyên 

3. (7n² + 1)/6 = k với k tự nhiên 
=> n² + 1 = 6k - 6n² = 6(k - n²) ♥ 
VP của ♥ chẵn nên VT cũng phải chẵn => n lẻ, tức n không có ước nguyên tố 2 => n / 2 là phân số tối giản 
VP của ♥ chia hết cho 3 nên VT cũng phải chia hết cho 3 => n không có ước nguyên tố 3 (vì khi đó VT chia 3 dư 1) 

  xét: p +2; p +3 ; p +4 là 3 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3 
theo gt p +2 và p +4 là số nguyên tố > 3 nên p +2 và p +4 không chia hết cho 3 
=> p + 3 chia hết cho 3 => p chia hết cho 3 
mà p là số nguyên tố => p = 3

Giải:

Nếu p = 2 thì p+ 4 = 2+ 4 = 6 (là hợp số loại)

Nếu p = 3 thì p + 2 = 2 + 3 = 5 (nhận)

p+ 4 = 3 + 4 = 7 (nhận)

Nếu p > 3 thì p có dạng: p =3k + 1 hoặc p = 3k + 2

Th1:

p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k+ 1 + 2 = 3k + (1+2) = 3k+3 (là hợp số)

Th2: 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 +4 = 3k+(2+4) = 3k + 6(là hợp số)

Từ những lập luận trên ta có p = 3 là giá trị duy nhất thỏa mãn đề bài.

TH1: p chẵn

=>p=2

2+4=6 ko thỏa mãn( vì 6 là hợp số)

TH2:p lẻ

=>p=3

3+4=7(thỏa mãn)

3+8=11(thỏa mãn)

TH3:p=3k+1

p+8=3k+9(chia hết cho 3) mà 3k+9 chắc chắn lớn hơn 3

=> p=3k+1 ko thỏa mãn

TH4:p=3k+2

p+4=3k+6 tương tự như TH3 p=3k+2 cũng ko thỏa mã

Vậy duy nhất chỉ có 3 thỏa mãn đề bài.

*Nếu p là số chẵn

Vì số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 nên p=2

p+4=2+4=6⋮3

=>Loại

*Nếu p là số lẻ thì ta sẽ có 3 trường hợp sau:

TH1: p=3

p+4=3+4=7

p+8=3+8=11

=>Nhận

TH2: p=3k+1

p+8=3k+1+8

=3k+9=3(k+3)⋮3

=>Loại

TH3: p=3k+2

p+4=3k+2+4

=3k+6

=3(k+2)⋮3

=>Loại

Vậy: p=3

a) 3

b) 5

Câu a:

Nếu p = 2 thì p + 10 = 2 + 10 = 12 (loại)

Nếu p = 3 thì p+ 10= 13 (nhận); p + 14 = 3 + 14 = 17 (nhận0

Nếu p > 3 thì p có dạng: p = 3k+ 1 hoặc p = 3k + 2

Th1 : p = 3k + 1 khi đó:

p + 14 = 3k+ 1 + 14 = 3k + (1+ 14) = 3k + 15(là hợp số vì chia hết cho 3 loại)

Th2: Nếu p = 3k + 2 khi đó:

p + 10 = 3k + 2+ 10 = 3k + (2+ 10) = 3k+ 12 (là hợp số vì chia hết cho 3 loại)

Từ những lập luận trên ta có p = 3 là giá trị duy nhất thỏa mãn đề bài.