Ta có \(\frac{5m+21}{m+6}=\frac{5\left(m+6\right)-9}{m+6}=5-\frac{9}{m+6}\)

để \(\frac{5m+21}{m+6}\)có giá trị nguyên\(\Leftrightarrow\frac{9}{m+6}\)có giá trị nguyên

\(\Leftrightarrow9⋮m+6\)

\(\Rightarrow m+6\inƯ\left(9\right)\)

ta có bảng

Câu 1:

A = \(\frac{18n+3}{21n+7}\) (n ∈ Z)

Gọi ƯC LN(18n + 3; 21n + 7) = d khi đó:

(18n + 3) ⋮ d và (21n + 7) ⋮ d

(126n + 21) ⋮ d và (126n + 42) ⋮ d

[126n + 21 - 126n - 42] ⋮ d

[(126n - 126n) - (42 - 21)] ⋮ d

[0 - 19] ⋮ d

19 ⋮ d

Nếu d = 19 thì phân số chưa tối giản và:

(18n + 3) ⋮ 19

[19n - 18n - 3] ⋮ 19

[n - 3] ⋮ 19

n = 19k + 3

Vậy n ≠ 19k + 3 thì đó là phân số tối giản

Câu 1:

B = \(\frac{2n+7}{5n+2}\) (n ∈ z)

Gọi ƯCLN(2n + 7; 5n + 2) = d

(2n + 7) ⋮ d va (5n + 2) ⋮ d

(10n + 35) ⋮ d và (10n + 4) ⋮ d

[10n + 35 - 10n - 4] ⋮ d

[(10n - 10n) + (35 -4)] ⋮ d

[0 + 31] ⋮ d

31 ⋮ d

Nếu d = 31 thì khi đó phân số chưa tối giản và:

(5n + 2) ⋮ 31

(30n + 12) ⋮ 31

(31n - 30n - 12) ⋮ 31

(n - 12) ⋮ 31

n = 31k + 12

Vậy để phân số tối giản thì n có dạng:

n = 31k + 12

 \(\frac{3a+45}{a+9}\)là số nguyên

\(\Rightarrow3a+45⋮a+9\)

Ta có : \(3a+45⋮a+9\)

\(\Rightarrow3a+27+18⋮a+9\)

\(\Rightarrow3\left(a+9\right)+18⋮a+9\)

\(\Rightarrow18⋮a+9\)

\(\Rightarrow a+9\inƯ\left(18\right)=\left\{-18;-9;-6;-3;-2;-1;1;2;3;6;9;18\right\}\)

\(\Rightarrow a\in\left\{-27;-18;-15;-12;-11;-10;-8;-7;-6;-3;0;9\right\}\)

Học tốt!

để M là số nguyên 

\(\Rightarrow2n-7⋮n-5\Rightarrow2\left(n-5\right)+3.\)

\(\Rightarrow n-5\inƯ\left(3\right)=\left[\pm1;\pm3\right]\Rightarrow\)

+n - 5 = -1 \(\Rightarrow\)n = 4

+n - 5 = -3 \(\Rightarrow\)n = 2

+n - 5 = 1 \(\Rightarrow\)n = 6

+n - 5 = 3 \(\Rightarrow\)n = 8

Để M là số nguyên

=> M thuộc Z

=> \(\frac{2n-7}{n-5}\)Thuộc Z

=> 2n - 7 \(⋮\)n - 5

=> 2n - 10 + 3 \(⋮\)n - 5

=> 2.( n - 5 ) + 3 \(⋮\)n - 5 mà 2 . ( n - 5 ) \(⋮\)n - 5 => 3 \(⋮\)n - 5

=> n - 5 thuộc Ư ( 3 ) = { - 3 ; - 1 ; 1 ; 3 }

=> n thuộc { - 2 ; 4 ; 6 ; 8 }

Vậy n thuộc { - 2 ; 4 ; 6 ; 8 }

Để phân số trên là số nguyên thì -19 phải chia hết cho a+8

=>a+8\(\in\)Ư(-19)

=>a+8\(\in\){1; -1; 19; -19}

KL:a\(\in\){-7; -9; 11; -27}

để \(\frac{-19}{a+8}\)là số nguyên thì:

a+8\(\in\)Ư(-19)={-1;1;-19;19}

với a+8=-1

a=-9

với a+8=1

a=-7

với a+8=19

a=11

với a+8=-19

a=-27

vậy a={-9;-7;11;-27} thì \(\frac{-19}{a+8}\)là số nguyên

a) Để \(\frac{-3}{x-1}\in Z\) \(\Leftrightarrow-3⋮\left(x-1\right)\)

   \(\Rightarrow x-1\inƯ\left(-3\right)=\left\{-1;1;-3;3\right\}\)

   \(\Rightarrow x=\left\{2;0;4;-2\right\}\)

b) Để \(\frac{-4}{2x-1}\in Z\Leftrightarrow-4⋮\left(2x-1\right)\)

\(\Rightarrow2x-1\inƯ\left(-4\right)=\left\{-1;1;-2;2;-4;4\right\}\)

\(\Rightarrow2x=\left\{0;2;-1;3;-3;5\right\}\)

\(\Rightarrow x=\left\{0;1;\frac{-1}{2};\frac{3}{2};\frac{-3}{2};\frac{5}{2}\right\}\)

Mà \(x\in Z\) \(\Rightarrow x=\left\{0;2\right\}\)

c) \(\frac{3x+7}{x-1}=\frac{3\left(x-1\right)+10}{x-1}\)

Vì \(3\left(x-1\right)⋮\left(x-1\right)\Rightarrow10⋮\left(x-1\right)\)

\(\Rightarrow x-1\inƯ\left(10\right)=\left\{1;-1;2;-2;5;-5;10;-10\right\}\)

\(\Rightarrow x=\left\{2;0;3;-1;6;-4;11;-9\right\}\)

d) Tương tự

để \(\frac{3x+3}{x-3}\) là số nguyên thì 3x+3 chia hết cho x-3 

ta có \(\frac{3x+3}{x-3}=\frac{3\left(x-3\right)+12}{x-3}\)

vì 3(x-3) chia hết cho x-3 nên để 3(x-3)+12 chia hết cho x-3 thì 12 chia hết cho x-3

hay x-3 là ước của 12 

ta có Ư(12)=(-1;-2;-6;-12;1;2;6;12)

thử chọn ta có 

nếu x-3=-1 => x=2

nếu x-3=-2 => x=1

nếu x-3=-6 => x=-3

nếu x-3=-12 => x=-9

nếu x-3=1 => x=4

nếu x-3=2 => x= 5

nếu x-3=6 => x=9

nếu x-3=12 => x=15