Do 2n+1 là số chính phương lẻ nên 2n+1 : 8 dư 1

=> 2n chia hết cho 8

=> n chia hết cho 4

=> n chẵn

=> 3n chẵn

=> 3n+1 lẻ

=> 3n+1 chia 8 dư 1

=> 3n chia hết cho 8

=> n chia hết cho 8    (1)

Có: 3n+1 là số chính phương => 3n+1 chia 5 dư 0;1;4

=> 3n chia 5 dư 4;3 hoặc chia hết cho 5

=> n chia 5 dư 3;1 hoặc chia hết cho 5

- Xét n : 5 dư 3 => 2n+1 chia 5 dư 2 (Loại)

- Xét n : 5 dư 1 => 2n+1 chia 5 dư 3 (Loại)

- Xét n chia hết cho 5 => 2n+1 chia 5 dư 1 (Thỏa mãn)

=> n chia hết cho 5   (2)

Từ (1) và (2) suy ra n chia hết cho 40

Ta tìm được n=40 để 2n+1 và 3n+1 đều là số chính phương

Hello

ko hieu cau 3 lam

$9^m-3^m=n^4+2n^3+n^2+2n$

$3^m(3^m-1)=n^2(n+1)^2+2n$

Đặt $a=3^m,\ k=n(n+1)$:

$k^2+2n=a(a-1)$.

Ta có $n(n+1)=k$ nên:

$k^2+2n=3^m(3^m-1)$.

Xét modulo $3^m$:

$k^2+2n\equiv0\pmod{3^m}$.

Vì $k=n(n+1)$ nên bài toán dẫn đến $m=1,n=1$.

Kiểm tra:

$9-3=6$

$1+2+1+2=6$.

Vậy $(m,n)=(1,1)$.

Đặt $N=(x+y)^2+3x+y+1$.

Theo đề $N$ là số chính phương, nên đặt $N=k^2$.

Ta có: $k^2=(x+y)^2+3x+y+1$

$k^2-(x+y)^2=3x+y+1$

$(k-x-y)(k+x+y)=3x+y+1$.

Vì $x,y>0$ nên: $k>x+y$.

Đặt $a=k-x-y>0$.

Khi đó: $a(2x+2y+a)=3x+y+1$.

Nếu $x>y$ thì: $3x+y+1<2x+2y+2x$ (với $x,y$ dương),

suy ra mâu thuẫn với $a\ge1$.

Tương tự nếu $x<y$ cũng mâu thuẫn.

Do đó: $x=y$.

Áp dụng hằng đẳng thức này : (a+b)² = a² +2ab+b² ,  (a-b)² = a² -2ab+b²  và a²-b²=(a-b)(a+b)

Nếu chưa học có  thể chứng minh bằng cách nhân bung vế trái rồi thu gọn là được

==========================================

Xét : \(\sqrt{n^2-1}\)+ \(\sqrt{n^2+1}\) , binh phương lên ta được 

\(\left(\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2+1}\right)^2\)= \(\left(n^2-1\right)+2\sqrt{\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)}+\left(n^2+1\right)\)

= \(2n^2+2\sqrt{n^4-1}\)

-----------------

Xét với (2n-1)² = 4n² - 4n + 1 

Để C. M vế trái = vế phải , ta chứng minh \(2\sqrt{n^4-1}=2n^2-4n+1\)

<=> \(\left(2\sqrt{n^4-1}\right)^2=\left(2n^2-4n+1\right)^2\)

sau đó khai triển ra .........nói chung cho nó = nhau sau đó kết luận  điều cần c.m đúng

==============================================

tui chỉ góp ý z , lỡ cách làm này sai => chịu

a) A \(=\frac{2n-1}{n-3}=\frac{2n-6}{n-3}+\frac{5}{n-3}\) nguyên

<=> n - 3 thuộc Ư(5) = {-5; -1; 1; 5}

<=> n thuộc {-2; 2; 4; 8}

b) A lớn nhất <=> \(\frac{5}{n-3}\) lớn nhất <=> n - 3 là số nguyên dương nhỏ nhất

<=> n - 3 = 1 <=> n = 4

A=\(\frac{2n-1}{n-3}\)

a)Để A có giá trị nguyên thì 2n-1 phải chia hết cho n-3

2n-1

=2n-6+6-1

=2.(n-3)+5

n-3 chia hết cho n-3 nên 2(n-3) chia hết cho n-3

Vậy 5 cũng phải chia hết cho n-3

+n-3=1=>n=4

+n-3=5=>n=8

+n-3=-1=>n=2

+n-3=-5=>n=-2

Vậy n thuộc -2;2;8;4

b)Dễ thấy,để A có giá trị lớn nhất n=8

Chúc em học tốt^^