a) \(n^2+8n+29=n^2+4n+4n+16+15=\left(n+4\right)^2+15=m^2\)

\(\Leftrightarrow m^2-\left(n+4\right)^2=15\Leftrightarrow\left(m-n-4\right)\left(m+n+4\right)=13=1.13\)

Do \(m-n-4< m+n+4\)nên ta có trường hợp: 

 \(\hept{\begin{cases}m-n-4=1\\m+n+4=13\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=7\\n=2\end{cases}}\)(thỏa) 

b) \(9n^2+6n+22=3\left(3n^2+n\right)+3n+1+21=\left(3n+1\right)^2+21=m^2\)

\(\Leftrightarrow m^2-\left(3n+1\right)^2=21\Leftrightarrow\left(m-3n-1\right)\left(m+3n+1\right)=21=1.21=3.7\)

Ta có các trường hợp: 

- \(\hept{\begin{cases}m-3n-1=1\\m+3n+1=21\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=11\\n=3\end{cases}}\)(thỏa) 

- \(\hept{\begin{cases}m-3n-1=3\\m+3n+1=7\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=5\\n=\frac{1}{3}\end{cases}}\)(loại)

Em Xét 2 trường hợp: n = 2k và n = 2k + 1

$9^m-3^m=n^4+2n^3+n^2+2n$

$3^m(3^m-1)=n^2(n+1)^2+2n$

Đặt $a=3^m,\ k=n(n+1)$:

$k^2+2n=a(a-1)$.

Ta có $n(n+1)=k$ nên:

$k^2+2n=3^m(3^m-1)$.

Xét modulo $3^m$:

$k^2+2n\equiv0\pmod{3^m}$.

Vì $k=n(n+1)$ nên bài toán dẫn đến $m=1,n=1$.

Kiểm tra:

$9-3=6$

$1+2+1+2=6$.

Vậy $(m,n)=(1,1)$.

Đặt $N=(x+y)^2+3x+y+1$.

Theo đề $N$ là số chính phương, nên đặt $N=k^2$.

Ta có: $k^2=(x+y)^2+3x+y+1$

$k^2-(x+y)^2=3x+y+1$

$(k-x-y)(k+x+y)=3x+y+1$.

Vì $x,y>0$ nên: $k>x+y$.

Đặt $a=k-x-y>0$.

Khi đó: $a(2x+2y+a)=3x+y+1$.

Nếu $x>y$ thì: $3x+y+1<2x+2y+2x$ (với $x,y$ dương),

suy ra mâu thuẫn với $a\ge1$.

Tương tự nếu $x<y$ cũng mâu thuẫn.

Do đó: $x=y$.

Giả sử f(n) là số chính phương với mọi n nguyên dương

Đặt \(f\left(n\right)=n^3+On^2+Ln+M\)

Suy ra \(f\left(1\right)=1+O+L+M\);\(f\left(2\right)=8+4O+2L+M\);\(f\left(3\right)=27+9O+3L+M\);\(f\left(4\right)=64+16O+4L+O\) đều là số chính phương.

Mà \(f\left(4\right)-f\left(2\right)\equiv2L\left(mod4\right)\) và\(f\left(4\right)-f\left(2\right)\equiv0,1,-1\left(mod4\right)\)(do \(f\left(4\right),f\left(2\right)\)đều là số chính phương)

Do đó= \(2L\equiv0\left(mod4\right)\)

Suy ra \(2L+2\equiv2\left(mod4\right)\)

Mặt khác \(f\left(3\right)-f\left(1\right)\equiv2L+2\left(mod4\right)\)

=>Mâu thuẫn với điều giả sử (do \(f\left(3\right)-f\left(1\right)\equiv0,1,-1\left(mod4\right)\))

=>Đpcm

Vậy luôn tồn tại n nguyên dương sao cho \(f\left(n\right)=n^3+On^2+Ln+M\)không phải là số chính phương.

A=.................

de A la so chinh phuong thi (n-2)^2 =n^2-n+6 

ta co (n-2)^2 =...=n^2 -4n=...=4n-4 

• 4n-4 chia het n+6 
• roi tim n 
• cau ko hieu thi bao to nho