Đặt \(A=1+2+2^2+\cdots+2^{2005}\)

=>\(2A=2+2^2+2^3+\cdots+2^{2006}\)

=>\(2A-A=2+2^2+2^3+\ldots+2^{2006}-1-2-\cdots-2^{2005}\)

=>\(A=2^{2006}-1\)

Ta có: \(A=1+2+2^2+\cdots+2^{2005}\)

\(=1+2+\left(2^2+2^3+2^4\right)+\left(2^5+2^6+2^7\right)+\cdots+\left(2^{2003}+2^{2004}+2^{2005}\right)\)

\(=3+2^2\left(1+2+2^2\right)+2^5\left(1+2+2^2\right)+\cdots+2^{2003}\left(1+2+2^2\right)\)

\(=3+7\left(2^2+2^5+\cdots+2^{2003}\right)\)

=>A chia 7 dư 3

=>\(2^{2006}-1\) chia 7 dư 3

=>\(2^{2006}-1+1\) chia 7 dư 4

=>\(2^{2006}\) chia 7 dư 4

Câu a:

A = 1 + 2 + 2 \(^2\) + 2\(^3\) + ... + 2\(^{2006}\)

A = 2\(^0\) + 2 + 2 \(^2\) + 2\(^3\) + ... + 2\(^{2006}\)

Xét dãy số: 0; 1; 2; 3; ...; 2006

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 1

Số số hạng của dãy số trên là: (2006 - 0) : 1+ 1 = 2007

2007 : 3 = 669

Vậy nhóm 3 hạng tử liên tiếp của A vào nhau ta được:

A = (2\(^0\) + 2+ 2\(^2\)) + (2\(^3\) + 2\(^4\) + 2\(^5\)) + ...+ (2\(^{2004}\) + 2\(^{2005}\) + 2\(^{2006}\))

A = (1 + 2 + 4) + 2\(^3\)(1 + 2 + 4) + ...+ 2\(^{2004}\).(1 + 2 + 4)

A = (1+ 2+ 4).(1 + 2\(^3\) + ... + 2\(^{2004}\))

A = 7.(1 + 2\(^3\) + ... + 2\(^{2004}\))

Vậy A ⋮ 7 (đpcm)

Câu b:

B = 2\(^{2006}\)

B = (2\(^3\))\(^{668}\).2\(^2\)

B = 8\(^{668}\).4

8 \(\equiv\) 1 (mod 7)

8\(^{668}\) \(\equiv\) 1\(^{668}\) (mod 7)

8\(^{668}\) \(\equiv\) 1 (mod 7)

4 \(\equiv\) 4 (mod 7)

8\(^{668}\) \(\equiv\) 4 (mod 7)

Vậy B chia 7 dư 4

Câu a:

A = 1 + 2 + 2 \(^2\) + 2\(^3\) + ... + 2\(^{2006}\)

A = 2\(^0\) + 2 + 2 \(^2\) + 2\(^3\) + ... + 2\(^{2006}\)

Xét dãy số: 0; 1; 2; 3; ...; 2006

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 1

Số số hạng của dãy số trên là: (2006 - 0) : 1+ 1 = 2007

2007 : 3 = 669

Vậy nhóm 3 hạng tử liên tiếp của A vào nhau ta được:

A = (2\(^0\) + 2+ 2\(^2\)) + (2\(^3\) + 2\(^4\) + 2\(^5\)) + ...+ (2\(^{2004}\) + 2\(^{2005}\) + 2\(^{2006}\))

A = (1 + 2 + 4) + 2\(^3\)(1 + 2 + 4) + ...+ 2\(^{2004}\).(1 + 2 + 4)

A = (1+ 2+ 4).(1 + 2\(^3\) + ... + 2\(^{2004}\))

A = 7.(1 + 2\(^3\) + ... + 2\(^{2004}\))

Vậy A ⋮ 7 (đpcm)

Câu b:

B = 2\(^{2006}\)

B = (2\(^3\))\(^{668}\).2\(^2\)

B = 8\(^{668}\).4

8 \(\equiv\) 1 (mod 7)

8\(^{668}\) \(\equiv\) 1\(^{668}\) (mod 7)

8\(^{668}\) \(\equiv\) 1 (mod 7)

4 \(\equiv\) 4 (mod 7)

8\(^{668}\) \(\equiv\) 4 (mod 7)

Vậy B chia 7 dư 4

a)\(A=1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+...+2^{2004}+2^{2005}+2^{2006}\)

\(A=\left(1+2+2^2\right)+\left(2^3+2^4+2^5\right)+...+\left(2^{2004}+2^{2005}+2^{2006}\right)\)

\(A=7+2^3\left(1+2+2^2\right)+...+2^{2004}\left(1+2+2^2\right)\)

\(A=7+2^3.7+...+2^{2004}.7\)

\(A=7\left(1+2^3+...+2^{2004}\right)\) chia hết cho 7

b)\(2^{2006}=2^{2004}.2^2=\left(2^6\right)^{334}.4=64^{334}.4\)

Mặt khác: \(64\equiv1\left(mod7\right)\Rightarrow64^{334}\equiv1\left(mod7\right)\Rightarrow64^{334}.4\equiv4\left(mod7\right)\)

=>2²⁰⁰⁶ chia 7 dư 4

Trl :

Bạn kia làm đúng rồi nhé !

Học tốt nhé bạn @

có lời giải ko bạn

Đặt S=1+2+2^2+..........+2^2019

Vì: S có 2020 số hạng nên ta chia S thành:673 nhóm mỗi nhóm có  3 số hạng và thừa 1 số hạng như sau 

S=1+(2+2^2+2^3)+(2^4+2^5+2^6)+...........+(2^2017+2^2018+2^2019)

S=1+2(1+2+4)+2^4(1+2+4)+........+2^2017(1+2+4)

S=1+2.7+2^4.7+.....+2^2017.7

S=1+7(2+2^4+2^2017) chia 7 dư 1

Vậy: 1+2+2^2+2^3+..........+2^2019 chia 7 dư 1

\(2^3\equiv1\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow\left(2^3\right)^{668}.2^2\equiv1^{668}.2^2\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow2^{2006}\equiv4\left(mod7\right)\)

-Vậy: \(2^{2006}\) chia 7 dư 4

\(2^{2006}=\left(2^{17}\right)^{118}=131072^{118}\)

Ma \(131072\equiv4\left(mod7\right)\)=>\(131072^{118}=4\left(mod7\right)\)

=> 131072^118 hay 2^2006 chia 7 du 3