Lời giải:

$4\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow 4^{99}\equiv 1^{99}\equiv 1\pmod 3$

Lại có:

$4^3\equiv 1\pmod 7$

$\Rightarrow 4^{99}=(4^3)^{33}\equiv 1^{33}\equiv 1\pmod 7$

Vậy $4^{99}$ chia 3 và 7 đều dư 1

$\Rightarrow 4^{99}-1\vdots 3; 7$

$\Rightarrow 4^{99}-1=BC(3,7)\vdots BCNN(3,7)$ hay $4^{99}-1\vdots 21$
$\Rightarrow 4^{99}$ chia 21 dư 1.

A= 4 +4²+4³+4⁴+...+4⁹⁹+4¹⁰⁰

=>A = (4+4²)+(4³+4⁴)+...+(4⁹⁹+4¹⁰⁰⁾

=> A= 4(1+4)+4³(1+4)+...+4⁹⁹(1+4)

=> A= 4.5+4³.5+...+4⁹⁹.5

=>A= 5(4+4³+...+ 4⁹⁹)

có 5 chia hết cho 5 => 5(4+4³+...+4⁹⁹) chia hết cho 5

hay A chia hết cho 5

Vậy A chia 5 dư 0

Ta có M có (100-1):1+1=100 số hạng 

\(M=1+\left(3+3^2+3^3\right)+....+\left(3^{98}+3^{99}+3^{100}\right)\)

\(M=1+3\left(1+3+3^2\right)+...+3^{98}\left(1+3+3^2\right)\)

\(M=1+3.13+...+3^{98}.13\)

\(M=1+13\left(3+...+3^{98}\right)\)

Mà 13(3+...+3⁹⁸) chia hết cho 13 

=> M chia 13 dư 1

• \(M=\left(3^1+3^2+3^3+3^4\right)+\left(3^5+3^6+3^7+3^8\right)+....+\left(3^{97}+3^{98}+3^{99}+3^{100}\right)\))\(+1\)
•  \(M=40+3^5\times40+.....+3^{97}\times40+1\)

 \(\Rightarrow\)M chia 40 du 1

Ta có

A=4(4+1) +4³(4+1)+4⁵(4+1)+....+4⁹⁹(4+1)

  = 5.4+4³.5+...+4⁹⁹.5

  =5.(4+4³+...+4⁹⁹⁾ 

=> A chia 5 dư  0 hay A chia hết cho 5

A=(4+4²)+(4³+4⁴)+...+(4⁹⁹+4¹⁰⁰)

A=4(1+4)+4³(1+4)+...+4⁹⁹(1+4)

A=5(4+4³+...+4⁹⁹) chia hết cho 5

\(A=\left(7+7^2\right)+\left(7^2+7^3\right)+...+\left(7^{98}+7^{99}\right)\)

\(A=7\left(1+7\right)+7^2\left(1+7\right)+...+7^{98}\left(1+7\right)\)

\(A=8.\left(7+7^2+...+7^{98}\right)⋮8\)

vậy A chia 8 dư 0