Vì abc<1000

=>a<7

=>abc<700

=> 1<=a,b,c<=5

Ta đi chứng minh trong 3 số a,b,c tồn tại một số bằng 5

Thật vậy: Giả sử cả 3 số a,b,c<=4

=>abc<=72<100 vô lí

Do đó a=5 hoặc b=5 hoặc c=5

*Nếu a=5

Ta có

500+bc=5!+b!+c!<=240+b!

=>b!+240>500

=>b!>260

=>b>5 vô lí

Nên a<=4

*Nếu b=5

Lập luận tương tự b<=4

*Nếu c=5

Tìm được a=1;b=4

Vậy…

abc=100a+ 10b +c =a! +b! +c!. 
0! = 1, 2! = 2, 3!= 6, 4! = 24, 5!= 120, 6!= 720, 7! = 5040 (4 chữ số) => a; b; c <7, a khác 0 
- xét trường hợp a= 6, thì 600+ 10b+ c= 720+b! + c! <=> 10b+ c =120 +b! +c! (vô lý vì b, c <7) 
- nếu a= 5 thì 500+ 10b +c = 120 +b!+ c! [vô lý vì vt >500, vp <360 (a=5, b=5, c=5)] ( vt= vế trái, vp= vế phải) 
- nếu a= 4 thì 400+ 10b +c = 24 +b!+ c! [vô lý vì vt >400, vp < 264 (a=4, b=5, c=5)] 
- nếu a= 3 thì 300+ 10b +c = 6 +b!+ c! [vô lý vì vt >300, vp <246 (a=3, b=5, c=5) ] 
các trường hợp a=5,4,3 thì b và c không thể là số 6, giá trị lớn nhất của b và c là 5 
- nếu a= 2 thì 200+ 10b +c = 2+b!+ c! <=> 128+ 10b+ c= b! + c! => b hoậc c là 5 
+ b= 5 thì 128+ 50 +c= 120+ c! (không tồn tại c ) 
+c=5 thì 128+10b+ 5= b! +120 (không tồn tại b ) 
=> a=1 và ta có 100+ 10b+ c= 1 +b! +c! => b hoặc c là 5 
+ b=5 thì 100+ 50+ c= 1 +120 +c! ( không tồn tại c) 
+c= 5 thì 100+ 10b+ 5= 1 +b! +120 <=> 10b= 16+ b! <=> b=4 
vậy abc= 145. 
bài giải hơi dài, nhưng suy nghĩ ra nghiệm dễ vì a, b, c chạy từ 0 đến 6

123

abc=11(a+b+c)
=) 100a+10b+c=11a+11b+11c
=) 89a = b+10c
Vì b+10c\(\le99\)=) 89a\(\le99\)=) a = 1
=) 89 = b+10c
=) b = 89-10c
Để b không âm và có 1 chữ số =) c = 8
=) b = 89-10.8 = 9
Vậy abc=198

\(\overline{abc}=11\left(a+b+c\right)\)\(\Rightarrow100a+10b+c=11a+11b+11c\)

\(\Leftrightarrow100a+10b+c-\left(11a+11b+11c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow100a+10b+c-11a-11b-11c=0\)

\(\Leftrightarrow\left(100a-11a\right)+\left(10b-11b\right)+\left(c-11c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow89a+\left(-b\right)+\left(-10c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow89a=0-\left(-b\right)-\left(-10c\right)=10c+b\Rightarrow89a=\overline{cb}\)

\(\overline{cb}\)là số có 2 chữ số \(\Rightarrow89a\)bằng số có 2 chữ số\(\Rightarrow89a=89.1=89\Rightarrow a=1\)

Thay \(a=1;\overline{bc}=89\)vào \(\overline{abc}\), ta được: \(\overline{abc}=189\)

hình như đề thiếu bạn ơi

Với các số dương x;y ta có:

\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)

Áp dụng:

\(\Rightarrow P=\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}+\dfrac{1}{bc\left(b+c\right)+abc}+\dfrac{a}{ca\left(c+a\right)+abc}\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{bc\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ca\left(a+b+c\right)}\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{c}{a+b+c}+\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

\(P_{max}=1\) khi \(a=b=c=1\)

theo bài ta có:

11.(a+b+c) = abc

11a + 11b + 11c = 100a + 10b + c

89a = b + 10c

vì b; c chỉ có thể nhận giá trị lớn nhất là 9 nên a = 1

89 = b + 10c

89 - 10c = b

vì b ko phải là số âm hoặc là số có 2 chữ số nên c = 8

thay c = 8 ta đc: 89 - 80 = b => b = 9

Vậy số tự nhiên abc cần tìm là 189

Chúc bạn học giỏi nha!