Đặt \(p^2+pq+q^2=a^2\) \(\left(a\inℤ\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(p+q\right)^2-pq=a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(p+q\right)^2-a^2=pq\)

\(\Leftrightarrow\left(p+q-a\right)\left(p+q+a\right)=pq\)

Xong chắc xét các TH với p,q là số nguyên tố

1. Câu hỏi của Đình Hiếu - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

khó quá đi thôi 

đặt p+1 / 2 = a^2 , p^2 + 1 / 2 = b^2 ( a,b là các số nguyên dương ). Suy ra p = 2.a^2 - 1 và p^2 = 2.b^2 - 1 ⇒ p(p-1) = 2(b-a)(b+a) (1)

xét b ≥ p ⇒ b^2 + 1 ≥ p^2 + 1 mà p^2 + 1 = 2.b^2 nên b = 1 suy ra p = 1 ( loại )

⇒ p > b > a hay b-a < p và a+b < 2p. Từ (1) suy ra 2(b-a)(b+a) chia hết cho p ⇒ b+a chia hết cho p ⇒ b+a ≥ p mà b+a < 2p ⇒ b+a = p.

⇒ p^2 + 1 = 2.b^2 = 2.(p-a)^2 ⇒ p^2 + 1 = 2.p^2 - 4.p.a + 2.a^2 ⇒ p^2 - 4.a.p + 2.a^2 - 1 = 0 ⇒ p^2 - 4.a.p + p = 0 ⇒ p - 4a + 1 = 0

⇒ 2.a^2 - 4.a = 0 ⇒ a = 2 ⇒ p = 7 ( tm). Vậy p = 7

Câu 1 bạn dùng chia hết cho 13

Câu 2 bạn cộng cả 2 vế với z^4 rồi dùng chia 8

Câu 3 bạn đặt a^4n là x thì x sẽ chia 5 dư 1 và chia hết cho 4 hoăc chia 4 dư 1

Khi đó ta có x^2+3x-4=(x-1)(x+4)

đến đây thì dễ rồi

Câu 4 bạn xét p=3 p chia 3 dư 1 p chia 3 dư 2 là ra

Câu 6 bạn phân tích biểu thức của đề thành nhân tử có nhân tử x-2

Câu 5 mình nghĩ là kẹp giữa nhưng chưa ra

Cảm ơn bạn Ninh Đức Huy.

Bài này dài quá nên xin trả lời ngắn gọn là p thuộc {2;7;11}

Tham khảo  tại :

https://julielltv.wordpress.com/2013/09/02/bai-toan-so-chinh-phuong-phuong-trinh-nghiem-nguyen/
_Minh ngụy_