\(x^2+3xy+y^2=x^2y^2^{^{\left(1\right)}}\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2=x^2y^2-xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=xy\left(xy-1\right)\)

Vì xy(xy-1) là 2 số nguyên liên tiếp có tích là 1 số chính phương 

=> xy=0 hoặc xy-1 =0 

+) Nếu xy=0 thay vào (1) ta có 

\(x^2+y^2=0\Leftrightarrow x=y=0\)

+)Nếu xy-1 =0 hay xy=1 ta có 

\(x^2+y^2+3=1\Leftrightarrow x^2+y^2=-2\left(loại\right)\)

Vậy x=0 ; y=0

Đoạn số chính phương rồi suy ra xy mình chưa hiểu lắm,bạn gthich tí dc 0

Bước 1: Viết lại phương trình

\(x^{2} y^{2} - x^{2} - 3 x y - y^{2} = 0\) \(x^{2} y^{2} - x^{2} - 3 x y - y^{2} = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x^{2} \left(\right. y^{2} - 1 \left.\right) - 3 x y - y^{2} = 0\)

Bước 2: Nhận xét

• Đây là phương trình đối xứng về \(x\) và \(y\).
• Xét nghiệm nguyên dương nhỏ, vì các số lũy thừa tăng nhanh, nghiệm thường nhỏ.

Bước 3: Thử với \(x = 1\)

\(1 + 3 \cdot 1 \cdot y + y^{2} = 1 \cdot y^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 1 + 3 y + y^{2} = y^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 3 y + 1 = 0\)

• Không có nghiệm dương.

Bước 4: Thử với \(x = 2\)

\(4 + 3 \cdot 2 \cdot y + y^{2} = 4 y^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 4 + 6 y + y^{2} = 4 y^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 3 y^{2} - 6 y - 4 = 0\)

• Chia 1/1, nhận dạng phương trình bậc 2: \(3 y^{2} - 6 y - 4 = 0\)
• \(\Delta = \left(\right. - 6 \left.\right)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot \left(\right. - 4 \left.\right) = 36 + 48 = 84\)
• Không phải là bình phương hoàn hảo → không có nghiệm nguyên

Bước 5: Thử với \(x = 3\)

\(9 + 9 y + y^{2} = 9 y^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 9 + 9 y + y^{2} = 9 y^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 8 y^{2} - 9 y - 9 = 0\)

• \(\Delta = \left(\right. - 9 \left.\right)^{2} - 4 \cdot 8 \cdot \left(\right. - 9 \left.\right) = 81 + 288 = 369\)
• Không phải bình phương hoàn hảo → không có nghiệm nguyên

Bước 6: Thử với \(y = 1\)

\(x^{2} + 3 x + 1 = x^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 3 x + 1 = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x = - \frac{1}{3}\)

❌ Không nguyên dương

Bước 7: Thử với \(y = 2\)

\(x^{2} + 6 x + 4 = 4 x^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 3 x^{2} - 6 x - 4 = 0\)

• \(\Delta = \left(\right. - 6 \left.\right)^{2} - 4 * 3 * \left(\right. - 4 \left.\right) = 36 + 48 = 84\)
• Không nguyên

Bước 8: Thử với \(y = 3\)

\(x^{2} + 9 x + 9 = 9 x^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 8 x^{2} - 9 x - 9 = 0\)

• \(\Delta = \left(\right. - 9 \left.\right)^{2} - 4 * 8 * \left(\right. - 9 \left.\right) = 81 + 288 = 369\)
• Không nguyên

Bước 9: Kết luận

• Phương trình không có nghiệm nguyên dương nhỏ.
• Xét tiếp \(x \geq 1 , y \geq 1\) lũy thừa tăng nhanh → \(x^{2} y^{2} > x^{2} + 3 x y + y^{2}\) cho mọi \(x , y \geq 2\)
• Kiểm tra nhanh:

\(x^{2} y^{2} - \left(\right. x^{2} + 3 x y + y^{2} \left.\right) = x^{2} y^{2} - x^{2} - y^{2} - 3 x y = x y \left(\right. x y \left.\right) - x^{2} - y^{2} - 3 x y = x y \left(\right. x y - 3 \left.\right) - x^{2} - y^{2}\)

• Với \(x , y \geq 2\), \(x y \left(\right. x y - 3 \left.\right) - x^{2} - y^{2} > 0\) → Không thể bằng 0

✅ Kết luận: phương trình không có nghiệm nguyên dương.