a) \(y^2=-2\left(x^6-x^3y-32\right)\Leftrightarrow2x^6-2x^3y+y^2=64\Leftrightarrow4x^6-4x^3y+2y^2=128\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^3-y\right)^2+y^2=128\)

# Chứng minh và áp dụng bất đẳng thức sau \(A^2+B^2\ge\frac{\left(A+B\right)^2}{2}\), ta có

\(\left(2x^3-y\right)^2+y^2\ge\frac{\left(2x^3-y+y\right)^2}{2}=2x^6\Leftrightarrow128\ge2x^6\Leftrightarrow x^6\le64\Leftrightarrow-2\le x\le2\)

Mà x nguyên (gt) nên x có các giá trị sau -2;-1;0;1;2

Thế các giá trị của x vào phương trình và giải tìm y ( lưu ý xét điều kiện nguyên của y)

c) \(x^2-x-6=-y^2\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+2\right)=-y^2\)

mà \(y^2\ge0\Leftrightarrow-y^2\le0\)nên \(\left(x-3\right)\left(x+2\right)\le0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-3\le0\\x+2\ge0\end{cases}}\)( do x-3 < x+2 )

\(\Leftrightarrow-2\le x\le3\)

mà x nguyên (gt) nên \(x\in\left\{-2;-1;0;1;2;3\right\}\)

Thế các giá trị x vào phương trình và giải tìm y ( lưu ý xét điều kiện nguyên của y )

câu b) mình ko biết có cách nào hay ko chứ cách mình khá dài

\(x^2-6xy+13y^2=100\Leftrightarrow\left(x-3y\right)^2+4y^2=100\Rightarrow4y^2\le100\Leftrightarrow-5\le y\le5\)

mà y nguyên (gt) nên \(y\in\left\{-5;-4;...;3;4;5\right\}\)

thế các giá trị y vào phương trình và giải tìm x ( lưu ý điều kiện nguyên của x )

câu d) khá đơn giản

\(x^2-5y^2=17\Leftrightarrow x^2=15+5y^2+2\)suy ra x² chia cho 5 dư 2 ( có thể chứng minh được một số chính phương ko thể chia cho 5 dư 2 bằng cách lập bảng số dư rồi bình phương lên)

VẬY phương trình vô nghiệm

hmmmmmmmmmm