Giải:

Giả sử số cần tìm là A đã bớt đi 5.

Khi đó A chia hết cho 29, còn A chia cho 31 dư: 29 - 5 = 24

=> A=31x k+24 (k là số tự nhiên) 
Thử chọn: k=0,1,2,3,...ta thấy: khi k=17 thì A=551 chia hết cho 29 
Vậy số cần tìm là: A = 551 + 5 = 556

ĐS: 556

Gọi số tự nhiên cần tìm là A

Chia cho 29 dư 5 nghĩa là: A = 29p + 5 ( p ∈ N )

Tương tự:  A = 31q + 28 ( q ∈ N )

Nên: 29p + 5 = 31q + 28=> 29(p - q) = 2q + 23

Ta thấy: 2q + 23 là số lẻ => 29(p – q) cũng là số lẻ ==>p – q >=1

Theo giả thiết A nhỏ nhất => q nhỏ nhất (A = 31q + 28)

                                    =>2q = 29(p – q) – 23 nhỏ nhất

                                    => p – q nhỏ nhất

Do đó p – q = 1 => 2q = 29 – 23 = 6

                        => q = 3

Vậy số cần tìm là: A = 31q + 28 = 31. 3 + 28 = 121

Gọi số cần tìm là a ( a thuộc N*)

Do a chia 29 dư 5 và khi chia cho 31 thì dư 29

=> a = 29m + 5 = 31n + 29 ( m,n thuộc N)

=> 29m = 31n + 24

=> 29m = 29n + 2n + 24

=> 29m - 29n = 2n + 24

=> 29x(m - n) = 2n + 24

=> 2n + 24 chia hết cho 29

Mà 2n + 24 là số chẵn, n thuộc N nên 2n + 24 >= `24

=> 2n + 24 thuộc { 58 ; 116 ; 174 ; ... }

=> 2n thuộc { 34 ; 92 ;  150 ; ... }

=> n thuộc { 17 ; 46 ; 75 ; ... }

Để a nhỏ nhất thì n nhỏ nhất => n = 17

=> a = 31 x 17+ 29 = 556

Vậy số cần tìm là 556