Đặt x2−2x+m=tx2−2x+m=t, phương trình trở thành t2−2t+m=xt2−2t+m=x

Ta có hệ {x2−2x+m=tt2−2t+m=x{x2−2x+m=tt2−2t+m=x

⇒(x−t)(x+t−1)=0⇒(x−t)(x+t−1)=0

⇔[x=tx=1−t⇔[x=tx=1−t

⇔[x=x2−2x+mx=1−x2+2x−m⇔[x=x2−2x+mx=1−x2+2x−m

⇔[m=−x2+3xm=−x2+x+1⇔[m=−x2+3xm=−x2+x+1

Phương trình hoành độ giao điểm của y=−x2+x+1y=−x2+x+1 và y=−x2+3xy=−x2+3x:

−x2+x+1=−x2+3x−x2+x+1=−x2+3x

⇔x=12⇒y=54⇔x=12⇒y=54

Đồ thị hàm số y=−x2+3xy=−x2+3x và y=−x2+x+1y=−x2+x+1: 

Lời giải:
Để pt có 2 nghiệm thì:

\(\left\{\begin{matrix} m+1\neq 0\\ \Delta=(m-3)^2-4(m+1)^2=-(m+5)(3m-1)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\neq -1; -5\leq m\leq \frac{1}{3}\)

Pt có 2 nghiệm $x_1,x_2\geq -1$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1+x_2\geq -2\\ (x_1+1)(x_2+1)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1+x_2\geq -2\\ x_1x_2+(x_1+x_2)+1\geq 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{m-3}{m+1}\geq -2\\ \frac{m+1+m-3}{m+1}+1\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \frac{3m-1}{m+1}\geq 0\)

Vì $m\leq \frac{1}{3}$ nên $3m-1\leq 0$

$\Rightarrow m+1<0\Leftrightarrow m< -1$

Vậy $-5\leq m< -1$

Lời giải:

Để pt có 2 nghiệm thì: 

\(\left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ \Delta'=(m+1)^2-m(m+5)=1-3m\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ m\leq\frac{1}{3}\end{matrix}\right.(1)\)

Áp dụng định lý Viet:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{2(m+1)}{m}\\ x_1x_2=\frac{m+5}{m}\end{matrix}\right.\)

Để $x_1< 0< x_2$

$\Leftrightarrow x_1x_2< 0$

$\Leftrightarrow \frac{m+5}{m}< 0$

$\Leftrightarrow -5< m< 0(2)$

$x_1< x_2< 2$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x_1-2)(x_2-2)>0\\ x_1+x_2<4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1x_2-2(x_1+x_2)+4>0\\ x_1+x_2<4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{m+1}{m}>0\\ \frac{1-m}{m}< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m>1\\ m< -1\end{matrix}\right.(3)\)

Từ $(1);(2);(3)$ suy ra $-5< m< -1$

a) Với m = 1 phương trình trở thành:

x 2  + 4x + 4 = 0 ⇔ (x + 2 ) 2  = 0 ⇔ x = -2

Vậy x = -2

b) Ta có: Δ' = m 2  - 5m + 4

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

⇔ Δ' > 0 ⇔ m 2  - 5m + 4 > 0 

Do x1 < x2 < 1

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1\ne0\\\Delta'=m^2-\left(m+1\right)\left(m+6\right)>0\\x_1+x_2=\dfrac{2m}{m+1}>0\\x_1x_2=\dfrac{m+6}{m+1}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\-7m-6>0\\\dfrac{2m}{m+1}>0\\\dfrac{m+6}{m+1}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -\dfrac{6}{7}\\\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< -1\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}m>-1\\m< -6\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m< -6\)

Câu 1:
ĐKXĐ: x>=3

\(PT\Leftrightarrow\sqrt{x-3}=2x-m\)

=>x-3=(2x-m)^2

=>4x^2-4xm+m^2=x-3

=>4x^2-x(4m-1)+m^2+3=0

Δ=(4m-1)^2-4*4*(m^2+3)

=16m^2-8m+1-16m^2-48

=-8m-47

Để phương trình có nghiệm thì -8m-47>=0

=>m<=-47/8

TH1: m=0

Phương trình sẽ trở thành:

\(0x^2-2\left(0-1\right)x+3\left(0-2\right)=0\)

=>2x-6=0

=>2x=6

=>x=3

=>Phương trình không có hai nghiệm

=>Loại

TH2: m<>0

\(\Delta=\left(2m-2\right)^2-4m\cdot3\left(m-2\right)\)

\(=4m^2-8m+4-12m\left(m-2\right)\)

\(=4m^2-8m+4-12m^2+24m=-8m^2+16m+4\)

\(=4\left(-2m^2+4m+1\right)=-8\left(m^2-2m-\frac12\right)\)

Để phương trình có hai nghiệm thì \(\Delta\ge0\)

=>\(-8\left(m^2-2m-\frac12\right)\ge0\)

=>\(m^2-2m-\frac12\le0\)

=>\(m^2-2m+1-\frac32\le0\)

=>\(\left(m-1\right)^2-\frac32\le0\)

=>\(\left(m-1\right)^2\le\frac32=\frac64\)

=>\(-\frac{\sqrt6}{2}\le m-1\le\frac{\sqrt6}{2}\)

=>\(-\frac{\sqrt6}{2}+1\le m\le\frac{\sqrt6}{2}+1\)

Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{2\left(m-1\right)}{m};x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3\left(m-2\right)}{m}\)

\(x_1+2x_2=1;x_1+x_2=\frac{2\left(m-1\right)}{m}\)

=>\(x_1+2x_2-x_1-x_2=1-\frac{2\left(m-1\right)}{m}=\frac{m-2m+2}{m}=\frac{-m+2}{m}\)

=>\(x_2=\frac{-m+2}{m}\)

\(x_1=\frac{2\left(m-1\right)}{m}-\frac{-m+2}{m}=\frac{2m-2+m-2}{m}=\frac{3m-4}{m}\)

\(x_1x_2=\frac{3\left(m-2\right)}{m}\)

=>\(\frac{3m-4}{m}\cdot\frac{-m+2}{m}=\frac{3\left(m-2\right)}{m}=\frac{3m\left(m-2\right)}{m^2}\)

=>\(\left(3m-4\right)\left(-m+2\right)=3m\left(m-2\right)\)

=>\(-3m^2+6m+4m-8=3m^2-6m\)

=>\(-3m^2+10m-8-3m^2+6m=0\)

=>\(-6m^2+16m-8=0\)

=>\(3m^2-8m+4=0\)

=>\(3m^2-2m-6m+4=0\)

=>(3m-2)(m-2)=0

=>m=2/3(nhận) hoặc m=2(nhận)

\(\Delta=\left\lbrack-2\left(m-1\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\cdot\left(m^2-3m\right)\)

\(=4\left(m^2-2m+1\right)-4\left(m^2-3m\right)\)

\(=4\left(m^2-2m+1-m^2+3m\right)=4\left(m+1\right)\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 4(m+1)>0

=>m+1>0

=>m>-1

Theo Vi-et, ta có:

\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\left(m-1\right)=2m-2;x_1x_2=\frac{c}{a}=m^2-3m\)

\(3x_1+x_2=-2\)

\(x_1+x_2=2m-2\)

Do đó: \(3x_1+x_2-x_1-x_2=-2-2m+2=-2m\)

=>\(2x_1=-2m\)

=>\(x_1=-m\)

\(x_1+x_2=2m-2\)

=>\(x_2=2m-2+m=3m-2\)

\(x_1x_2=m^2-3m\)

=>\(-m\cdot\left(3m-2\right)-m^2+3m=0\)

=>\(-3m^2+2m-m^2+3m=0\)

=>\(-4m^2+5m=0\)

=>m(-4m+5)=0

=>m=0(nhận) hoặc m=5/4(nhận)