a: y=m(2x-1)+3-2x

=>y=2mx-m+3-2x

=>y=x(2m-2)-m+3

=>x(2m-2)-y-m+3=0

Khoảng cách từ O đến (d) là:

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\frac{\left|0\cdot\left(2m-2\right)+0\cdot\left(-1\right)-m+3\right|}{\sqrt{\left(2m-2\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{\left|m-3\right|}{\sqrt{4m^2-8m+5}}\)

d(O;(d))=1

=>\(\left|m-3\right|=\sqrt{4m^2-8m+5}\)

=>\(4m^2-8m+5=m^2-6m+9\)

=>\(3m^2-2m-4=0\)

=>\(m^2-\frac23m-\frac43=0\)

=>\(m^2-2\cdot m\cdot\frac13+\frac19-\frac{13}{9}=0\)

=>\(\left(m-\frac13\right)^2=\frac{13}{9}\)

=>\(\left[\begin{array}{l}m-\frac13=\frac{\sqrt{13}}{3}\\ m-\frac13=-\frac{\sqrt{13}}{3}\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m=\frac{\sqrt{13}+1}{3}\\ m=\frac{-\sqrt{13}+1}{3}\end{array}\right.\)

b: Để d(O;(d)) lớn nhất thì \(4m^2-8m+5\) nhỏ nhất

=>\(4m^2-8m+4+1\) nhỏ nhất

=>\(\left(2m-2\right)^2+1\) nhỏ nhất

mà \(\left(2m-2\right)^2+1\ge1\forall m\)

nên dấu '=' xảy ra khi 2m-2=0

=>2m=2

=>m=1

a: y=(2m-3)x-1

=>(2m-3)x-y-1=0

Khoảng cách từ O đến (1) là:

d(O;(1))=\(\frac{\left|0\left(2m-3\right)+0\cdot\left(-1\right)-1\right|}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+1}}\)

\(d\left(O;\left(1\right)\right)=\frac{1}{\sqrt5}\)

=>\(\frac{1}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+1}}=\frac{1}{\sqrt5}\)

=>\(\left(2m-3\right)^2+1=5\)

=>\(\left(2m-3\right)^2=4\)

=>2m-3=2 hoặc 2m-3=-2

=>2m=5 hoặc 2m=1

=>m=5/2 hoặc m=1/2

b: d(O;(1))=\(\frac{\left|0\left(2m-3\right)+0\cdot\left(-1\right)-1\right|}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+1}}\)

Để d(O;(1)) lớn nhất thì \(\sqrt{\left(2m-3\right)^2+1}\) nhỏ nhất

=>2m-3=0

=>2m=3

=>m=3/2

a: y=(2m-3)x-1

=>(2m-3)x-y-1=0

Khoảng cách từ O đến (1) là:

d(O;(1))=\(\frac{\left|0\left(2m-3\right)+0\cdot\left(-1\right)-1\right|}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+1}}\)

\(d\left(O;\left(1\right)\right)=\frac{1}{\sqrt5}\)

=>\(\frac{1}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+1}}=\frac{1}{\sqrt5}\)

=>\(\left(2m-3\right)^2+1=5\)

=>\(\left(2m-3\right)^2=4\)

=>2m-3=2 hoặc 2m-3=-2

=>2m=5 hoặc 2m=1

=>m=5/2 hoặc m=1/2

b: d(O;(1))=\(\frac{\left|0\left(2m-3\right)+0\cdot\left(-1\right)-1\right|}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+1}}\)

Để d(O;(1)) lớn nhất thì \(\sqrt{\left(2m-3\right)^2+1}\) nhỏ nhất

=>2m-3=0

=>2m=3

=>m=3/2

Lời giải:

ĐK: $3m+1\neq 0$

Gọi $A,B$ lần lượt là giao điểm của $(d)$ với $Ox,Oy$

Vì $A\in Ox$ nên $y_A=0$

$y_A=(3m+1)x_A-6m-1=0$

$\Rightarrow x_A=\frac{6m+1}{3m+1}$

Vậy $A(\frac{6m+1}{3m+1},0)$

Tương tự: $B(0, -6m-1)$

Gọi $h$ là khoảng cách từ $O$ đến $(d)$

Khi đó, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}$

$=\frac{1}{|x_A|^2}+\frac{1}{|y_B|^2}$

$=\frac{(3m+1)^2}{(6m+1)^2}+\frac{1}{(6m+1)^2}$
$=\frac{(3m+1)^2+1}{(6m+1)^2}$

Để $h$ max thì $\frac{1}{h^2}$ min 

Hay $\frac{(3m+1)^2+1}{(6m+1)^2}$ min

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$[(3m+1)^2+1][2^2+(-1)^2]\geq [2(3m+1)+(-1)]^2=(6m+1)^2$
$\Rightarrow 5[(3m+1)^2+1]\geq (6m+1)^2$

$\Rightarrow \frac{1}{h^2}\geq \frac{1}{5}$

Giá trị này đạt tại $\frac{3m+1}{2}=\frac{1}{-1}$

$\Leftrightarrow m=-1$

Bạn viết sai rồi, đường thẳng y-mx+2 =0 hay y=mx+2 vậy bạn?