Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\frac{m+1}{1}<>\frac{-6}{-m}\)

=>m(m+1)<>6

=>\(m^2+m-6<>0\)

=>(m+3)(m-2)<>0

=>m∉{-3;2}

\(\begin{cases}x\left(m+1\right)-6y=4\\ x-my=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\left(m+1\right)-6y=4\\ x\left(m+1\right)-y\left(m^2+m\right)=2\left(m+1\right)\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x\left(m+1\right)-6y-x\left(m+1\right)+y\left(m^2+m\right)=4-2m-2\\ x-my=2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y\left(m^2+m-6\right)=-2m+2\\ x=my+2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=\frac{-2m+2}{m^2+m-6}\\ x=m\cdot\frac{-2m+2}{m^2+m-6}+2=\frac{-2m^2+2m+2m^2+2m-12}{m^2+m-6}=\frac{4m-12}{m^2+m-6}\end{cases}\)

x,y là các số nguyên

=>4m-12⋮\(m^2+m-6\) và -2m+2⋮\(m^2+m-6\)

=>4m-12⋮\(m^2+m-6\) và -4m+4⋮\(m^2+m-6\)

=>4m-12-4m+4⋮\(m^2+m-6\)

=>-8⋮\(m^2+m-6\)

=>\(m^2+m-6\in\left\lbrace1;-1;2;-2;4;-4;8;-8\right\rbrace\)

mà \(m^2+m-6=\left(m+\frac12\right)^2-\frac{25}{4}\ge-\frac{25}{4}\forall m\)

nên \(m^2+m-6\) ∈{1;-1;2;-2;4;-4;8}

TH1: \(m^2+m-6=1\)

=>\(m^2+m-7=0\)

=>\(m^2+m+\frac14-\frac{29}{4}=0\)

=>\(\left(m+\frac12\right)^2=\frac{29}{4}\)

=>\(m+\frac12=\pm\frac{\sqrt{29}}{2}\)

=>\(m=\frac{\pm\sqrt{29}-1}{2}\)

TH2: \(m^2+m-6=-1\)

=>\(m^2+m-5=0\)

=>\(m^2+m+\frac14-\frac{21}{4}=0\)

=>\(\left(m+\frac12\right)^2=\frac{21}{4}\)

=>\(m+\frac12=\pm\frac{\sqrt{21}}{2}\)

=>\(m=-\frac12\pm\frac{\sqrt{21}}{2}\)

TH3: \(m^2+m-6=2\)

=>\(m^2+m-8=0\)

=>\(m^2+m+\frac14-\frac{33}{4}=0\)

=>\(\left(m+\frac12\right)^2=\frac{33}{4}\)

=>\(m+\frac12=\pm\frac{\sqrt{33}}{2}\)

=>\(m=-\frac12\pm\frac{\sqrt{33}}{2}\)

TH4: \(m^2+m-6=-2\)

=>\(m^2+m-4=0\)

=>\(m^2+m+\frac14-\frac{17}{4}=0\)

=>\(\left(m+\frac12\right)^2=\frac{17}{4}\)

=>\(m+\frac12=\pm\frac{\sqrt{17}}{2}\)

=>\(m=-\frac12\pm\frac{\sqrt{17}}{2}\)

TH5: \(m^2+m-6=4\)

=>\(m^2+m-10=0\)

=>\(m^2+m+\frac14-\frac{41}{4}=0\)

=>\(\left(m+\frac12\right)^2=\frac{41}{4}\)

=>\(m+\frac12=\pm\frac{\sqrt{41}}{2}\)

=>\(m=-\frac12\pm\frac{\sqrt{41}}{2}\)

TH6: \(m^2+m-6=-4\)

=>\(m^2+m-2=0\)

=>(m+2)(m-1)=0

=>m=-2 hoặc m=1

TH7: \(m^2+m-6=8\)

=>\(m^2+m-14=0\)

=>\(m^2+m+\frac14-\frac{57}{4}=0\)

=>\(\left(m+\frac12\right)^2=\frac{57}{4}\)

=>\(m+\frac12=\pm\frac{\sqrt{57}}{2}\)

=>\(m=-\frac12\pm\frac{\sqrt{57}}{2}\)

Bài 2:

Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\frac{m}{1}<>\frac{1}{m}\)

=>\(m^2<>1\)

=>m∉{1;-1}

\(\begin{cases}mx+y=m^2\\ x+my=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}mx+y=m^2\\ mx+m^2y=m\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}mx+m^2y-mx-y=m-m^2\\ x+my=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y\left(m^2-1\right)=-m\left(m-1\right)\\ x+my=1\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y=\frac{-m\left(m-1\right)}{\left(m-1\right)\left(m+1\right)}=\frac{-m}{m+1}\\ x=1-my=1-\frac{m\left(-m\right)}{m+1}=\frac{m+1+m^2}{m+1}\end{cases}\)

x+y>0

=>\(\frac{m^2+m+1-m}{m+1}>0\)

=>\(\frac{m^2+1}{m+1}>0\)

=>m+1>0

=>m>-1

=>m>-1 và m<>1

Bài 1:

Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\frac{m}{9}<>\frac{1}{m}\)

=>\(m^2<>9\)

=>m∉{3;-3}

\(\begin{cases}mx+y=3\\ 9x+my=2m+3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=3-mx\\ 9x+m\left(3-mx\right)=2m+3\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y=3-mx\\ 9x+3m-m^2x=2m+3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=3-mx\\ x\left(9-m^2\right)=3-m\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x=\frac{3-m}{9-m^2}=\frac{\left(3-m\right)}{\left(3-m\right)\left(3+m\right)}=\frac{1}{m+3}\\ y=3-mx=3-\frac{m}{m+3}=\frac{3m+9-m}{m+3}=\frac{2m+9}{m+3}\end{cases}\)

3x+2y=9

=>\(\frac{3}{m+3}+\frac{2\left(2m+9\right)}{m+3}=9\)

=>9(m+3)=3+2(2m+9)=3+4m+18=4m+21

=>9m+27=4m+21

=>5m=-6

=>m=-6/5(nhận)

b: Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\frac{1}{m}<>\frac{1}{-1}\)

=>m<>-1

c: Để hệ có nghiệm duy nhất thì m<>-1

\(\begin{cases}x+y=2\\ mx-y=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x+y+mx-y=2+1=3\\ x+y=2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x\left(m+1\right)=3\\ x+y=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{3}{m+1}\\ y=2-x=2-\frac{3}{m+1}=\frac{2m+2-3}{m+1}=\frac{2m-1}{m+1}\end{cases}\)

x-3y=5

=>\(\frac{3}{m+1}-\frac{3\left(2m-1\right)}{m+1}=5\)

=>3-3(2m-1)=5(m+1)

=>3-6m+3=5m+5

=>-6m+6=5m+5

=>-11m=-1

=>\(m=\frac{1}{11}\) (nhận)

d: xy<0

=>\(\frac{3}{m+1}\cdot\frac{2m-1}{m+1}<0\)

=>3(2m-1)<0

=>2m-1<0

=>\(m<\frac12\)

Kết hợp với m<>-1, ta được: \(\begin{cases}m<\frac12\\ m<>-1\end{cases}\)

e: x+2y>4

=>\(\frac{3}{m+1}+\frac{2\left(2m-1\right)}{m+1}>4\)

=>3+2(2m-1)>4(m+1)

=>3+4m-2>4m+4

=>1>4(sai)

=>m∈∅

f: Để x,y nguyên thì 3⋮m+1 và 2m-1⋮m+1

=>3⋮m+1 và 2m+2-3⋮m+1

=>3⋮m+1 và -3⋮m+1

=>3⋮m+1

=>m+1∈{1;-1;3;-3}

=>m∈{0;-2;2;-4}

khó quá nhờ

Ta có: \(\begin{cases}y=2m-mx\\ x=1+m-my\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=1+m-m\left(2m-mx\right)\\ y=2m-mx\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x=1+m-2m^2+m^2x\\ y=2m-mx\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\left(1-m^2\right)=-2m^2+m+1\\ y=2m-mx\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x\left(m-1\right)\left(m+1\right)=2m^2-m-1=2m^2-2m+m-1=\left(m-1\right)\left(2m+1\right)\\ y=2m-mx\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x=\frac{\left(m-1\right)\left(2m+1\right)}{\left(m-1\right)\left(m+1\right)}=\frac{2m+1}{m+1}\\ y=2m-mx=2m-m\cdot\frac{2m+1}{m+1}=\frac{2m\left(m+1\right)-m\left(2m+1\right)}{m+1}=\frac{2m^2+2m-2m^2-m}{m+1}=\frac{m}{m+1}\end{cases}\)

x>2 và y>1

=>x-2>0 và y-1>0

=>\(\begin{cases}\frac{2m+1-2m-2}{m+1}>0\\ \frac{m-m-1}{m+1}>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-\frac{1}{m+1}>0\\ \frac{-1}{m+1}>0\end{cases}\)

=>m+1<0

=>m<-1

Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\frac{1}{m}<>\frac{m}{1}\)

=>\(m^2<>1\)

=>m∉{1;-1}

\(\begin{cases}x+my=m+1\\ mx+y=2m\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}mx+m^2y=m^2+m\\ mx+y=2m\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}mx+m^2y-mx-y=m^2+m-2m\\ x+my=m+1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y\left(m^2-1\right)=m^2-m\\ x+my=m+1\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y=\frac{m\left(m-1\right)}{\left(m-1\right)\left(m+1\right)}=\frac{m}{m+1}\\ x=m+1-my=m+1-\frac{m^2}{m+1}=\frac{m^2+2m+1-m^2}{m+1}=\frac{2m+1}{m+1}\end{cases}\)

x>2 và y>1

=>x-2>0 và y-1>0

=>\(\frac{2m+1-2m-2}{m+1}>0;\frac{m-m-1}{m+1}>0\)

=>\(\frac{-1}{m+1}>0\)

=>m+1<0

=>m<-1

Xét hệ  x + m y = m + 1     1 m x + y = 2 m     2

Từ (2) ⇒ y = 2m – mx thay vào (1) ta được:

x + m (2m – mx) = m + 1

⇔ 2 m 2 – m 2 x + x = m + 1 ⇔ ( 1 – m 2 ) x = − 2 m 2 + m + 1

( m 2 – 1 ) x = 2 m 2 – m – 1   ( 3 )

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  (3) có nghiệm duy nhất

m 2 – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ ± 1 ( * )

Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất  x = 2 m + 1 m + 1 y = m m + 1

Ta có

x ≥ 2 y ≥ 1 ⇔ 2 m + 1 m + 1 ≥ 2 m m + 1 ≥ 1 ⇔ − 1 m + 1 ≥ 0 − 1 m + 1 ≥ 0 ⇔ m + 1 < 0 ⇔ m < − 1

Kết hợp với (*) ta được giá trị m cần tìm là m < −1

Đáp án: B

a: Thay m=-2 vào hệ phương trình, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=-2+1=-1\\-2x+y=3\cdot\left(-2\right)-1=-7\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x-4y=-2\\-2x+y=-7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3y=-9\\x-2y=-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=3\\x=2y-1=2\cdot3-1=5\end{matrix}\right.\)

b: Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{1}{m}\ne\dfrac{m}{1}\)

=>\(m^2\ne1\)

=>\(m\notin\left\{1;-1\right\}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\mx+y=3m-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\m\left(m+1-my\right)+y=3m-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\m^2+m-m^2y+y=3m-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\y\left(-m^2+1\right)=3m-1-m^2-m=-m^2+2m-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\y\left(m-1\right)\left(m+1\right)=\left(m-1\right)^2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{m-1}{m+1}\\x=m+1-m\cdot\dfrac{m-1}{m+1}=\left(m+1\right)-\dfrac{m^2-m}{m+1}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{m-1}{m+1}\\x=\dfrac{m^2+2m+1-m^2+m}{m+1}=\dfrac{3m+1}{m+1}\end{matrix}\right.\)

\(x^2-y^2=4\)

=>\(\dfrac{\left(3m+1\right)^2-\left(m-1\right)^2}{\left(m+1\right)^2}=4\)

=>\(\dfrac{9m^2+6m+1-m^2+2m+1}{\left(m+1\right)^2}=4\)

=>\(8m^2+8m+2=4\left(m+1\right)^2\)

=>\(8m^2+8m+2-4m^2-8m-4=0\)

=>\(4m^2-2=0\)

=>\(m^2=\dfrac{1}{2}\)

=>\(m=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

a, tự làm 

b,\(\hept{\begin{cases}x-my=0\\mx-y=m+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=my\\m^2y-y=m+1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=my\\y\left(m^2-1\right)\left(1\right)\end{cases}}\)

để hpt có nghiệm duy nhất =>pt(1) có nghiệm duy nhất =>\(m^2-1\ne0\Rightarrow m\ne\pm1\)

c, \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=my\\y=\frac{m+1}{m^2-1}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{m}{m-1}\\y=\frac{1}{m-1}\end{cases}}\)

để x>0,y>0 =>\(\hept{\begin{cases}\frac{m}{m-1}>0\\\frac{1}{m-1>0}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\orbr{\begin{cases}m< 0\\m>1\end{cases}}\\m>0\end{cases}}\Rightarrow m>0\)

d,để x+2y=1=>\(\frac{m}{m-1}+\frac{2}{m-1}=1\Leftrightarrow m+2=m-1\)

\(\Leftrightarrow0m=-3\)(vô lí)

e,ta có x+y=\(\frac{m}{m-1}+\frac{1}{m-1}=\frac{m+1}{m-1}=1+\frac{2}{m-1}\)(lưu ý chỉ làm đc với m\(\inℤ\))

để\(1+\frac{2}{m-1}\inℤ\Rightarrow m-1\inư\left(2\right)\)

\(\Rightarrow m-1\in\left\{\pm1;\pm2\right\}\Rightarrow m\in\left\{3;2;0\right\}\)