Với \(m=0\) hệ có nghiệm \(x=1\)

Với \(m\ne0\)

Xét \(x^2-2x+1-m\le0\) (1)

\(\Delta'=m\Rightarrow\) để (1) có nghiệm thì \(m>0\Rightarrow1-\sqrt{m}\le x\le1+\sqrt{m}\) (3)

Xét \(f\left(x\right)=x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+m\le0\) (2)

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2+m\right)=m+1\)

Với \(m>0\Rightarrow\) (2) có nghiệm \(m+1-\sqrt{m+1}\le x\le m+1+\sqrt{m+1}\) (4)

Khi \(m>0\Rightarrow m+1+\sqrt{m+1}>1+\sqrt{m}\)

\(\Rightarrow\) Để (3) giao (4) khác rỗng

\(\Leftrightarrow m+1-\sqrt{m+1}\le1+\sqrt{m}\)

\(\Leftrightarrow m-\sqrt{m}\le\sqrt{m+1}\)

- Với \(0< m\le1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VP>0\\VT\le0\end{matrix}\right.\) BPT luôn đúng

- Với \(m>1\) bình phương 2 vế:

\(\Leftrightarrow m^2-2m\sqrt{m}+m\le m+1\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m\sqrt{m}-1\le0\)

\(t=\sqrt{m}\Rightarrow t^4-2t^3-1\le0\)

Rất tiếc BPT này ko giải được ^.^

\(x^2-2x+1-m>0\) với mọi x \(\Leftrightarrow\Delta'< 0\Leftrightarrow1-1+m< 0\Leftrightarrow m< 0\)

Vậy để \(x^2-2x+1-m\le0\) với mọi x \(\Leftrightarrow m\ge0\)

Xét \(x^2-\left(2m+2\right)x+m^2+m\)

Để \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+m>0\Leftrightarrow\Delta'< 0\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m+1-m^2-m< 0\Leftrightarrow m< -1\)

Vậy để \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+m\le0\Leftrightarrow m\ge-1\)

Kết hợp lại ta có \(m\ge0\)

a.

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\x\le m\end{matrix}\right.\)

Hệ có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow m=2\)

b.

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2+1\right)x\ge6\\2x\le6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{6}{m^2+1}\\x\le3\end{matrix}\right.\)

Hệ có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\dfrac{6}{m^2+1}=3\)

\(\Leftrightarrow m=\pm1\)

c.

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-6x+9\ge x^2+7x+1\\5x\ge2m-8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{8}{13}\\x\ge\dfrac{2m-8}{5}\end{matrix}\right.\)

Pt có nghiệm duy nhất khi \(\dfrac{2m-8}{5}=\dfrac{8}{13}\Leftrightarrow m=\dfrac{72}{13}\)

d.

Hệ có nghiệm duy nhất khi:

TH1:

 \(\left\{{}\begin{matrix}m>0\\\dfrac{m-3}{m}=\dfrac{m-9}{m+3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m^2-9=m^2-9m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m=1\)

TH2:

\(\left\{{}\begin{matrix}m+3< 0\\\dfrac{m-3}{m}=\dfrac{m-9}{m+3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m=1\) (ktm)

Vậy \(m=1\)

e.

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2m-1\right)x\ge-2m+3\\\left(4-4m\right)x\le3\end{matrix}\right.\)

Hệ có nghiệm duy nhất khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(2m-1\right)\left(4-4m\right)>0\\\dfrac{-2m+3}{2m-1}=\dfrac{3}{4-4m}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}< m< 1\\\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{3}{4}\\m=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{4}\)

\(2x^2-5x+2< 0\Leftrightarrow\frac{1}{2}< x< 2\)

Xét \(x^2-\left(2m+1\right)x+m\left(m+1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-m\right)\left(x-m-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow m\le x\le m+1\)

Để hệ đã cho có nghiệm:

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m< \frac{1}{2}\\m+1>\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \frac{1}{2}\\m>-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-\frac{1}{2}< m< \frac{1}{2}\)

TH2: \(\frac{1}{2}\le m< 2\)

Vậy để BPT có nghiệm \(\Rightarrow-\frac{1}{2}< m< 2\)

Xét \(-x^2+2x+3\le0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le-1\\x\ge3\end{matrix}\right.\)

Xét \(x+2m-1>0\Leftrightarrow x>-2m+1\)

Hệ đã cho có nghiệm với mọi m (đều chứa khoảng dương vô cùng)

\(\left\{{}\begin{matrix}-x^2+2x+3\le0\\x+2m-1>0\end{matrix}\right.\)<=>\(\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le3\\x>-2m+1\end{matrix}\right.\)

 để pt ....thì \(-2m+1< 3\)

<=>\(-2m< 2\)

<=> \(m>1\)

vậy pt .....