Bài 1:

Khi $m=1$ thì HPT trở thành:

\(\left\{\begin{matrix} x-2y=-1\\ 2x+y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-4y=-2\\ 2x+y=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (2x+y)-(2x-4y)=2-(-2)\)

\(\Leftrightarrow 5y=4\Rightarrow y=\frac{4}{5}\)

\(x=\frac{2-y}{2}=\frac{2-\frac{4}{5}}{2}=\frac{3}{5}\)

Vậy ...........

b)

HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} mx-2y=m-2\\ y=m+1-2x\end{matrix}\right.\Rightarrow mx-2(m+1-2x)=m-2\)

\(\Leftrightarrow x(m+4)=3m(*)\)

Để HPT ban đầu có bộ nghiệm (x,y) duy nhất thì PT $(*)$ phải có nghiệm $x$ duy nhất. Điều này xảy ra khi $m+4\neq 0$ hay $m\neq -4$

Bài 2:
a)

Khi $m=2$ thì hệ trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} x+2y=1\\ 2x+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+4y=2\\ 2x+y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (2x+4y)-(2x+y)=2-1\)

\(\Leftrightarrow 3y=1\Rightarrow y=\frac{1}{3}\)

Khi đó: \(x=1-2y=1-2.\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)

Vậy HPT có bộ nghiệm duy nhất $(x,y)=(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

b)

HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1-my\\ mx+y=1\end{matrix}\right.\Rightarrow m(1-my)+y=1\)

\(\Leftrightarrow y(1-m^2)=1-m(*)\)

Để HPT ban đầu có nghiệm duy nhất thì PT $(*)$ cũng phải có nghiệm duy nhất. Điều này xảy ra khi \(1-m^2\neq 0\Leftrightarrow m\neq \pm 1\)

Khi đó:
\(y=\frac{1-m}{1-m^2}=\frac{1}{1+m}\)

\(x=1-my=1-\frac{m}{m+1}=\frac{1}{m+1}\)

Vậy HPT có nghiệm \((x,y)=(\frac{1}{m+1}, \frac{1}{m+1})\)

Để \(x,y>0\Leftrightarrow \frac{1}{m+1}>0\Leftrightarrow m>-1\)

Kết hợp những điều vừa tìm được suy ra $m>-1$ và $m\neq 1$ thì thỏa mãn.

a) Hệ phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi:\(\dfrac{m}{3}=\dfrac{-2}{2}\ne\dfrac{2}{9}\)
Xét \(\dfrac{m}{3}=\dfrac{-2}{2}\Leftrightarrow m=-3\) .
Dễ thấy \(m=-3\) thỏa mãn: \(\dfrac{-3}{3}=\dfrac{-2}{2}\ne\dfrac{2}{9}\)
Vậy \(m=-3\) hệ vô nghiệm.

b) Hệ phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi:\(\dfrac{2}{1}=\dfrac{-m}{1}\ne\dfrac{5}{7}\)
Xét: \(\dfrac{2}{1}=\dfrac{-m}{1}\Leftrightarrow m=-2\)
Do \(\dfrac{2}{1}=\dfrac{-\left(-2\right)}{1}\ne\dfrac{5}{7}\) thỏa mãn nên m = - 2 hệ phương trình vô nghiệm.

a: Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\frac{m}{1}<>\frac{-1}{4\left(m+1\right)}\)

=>\(4m\left(m+1\right)<>-1\)

=>\(4m^2+4m+1<>0\)

=>\(\left(2m+1\right)^2<>0\)

=>2m+1<>0

=>m<>-1/2

\(\begin{cases}mx-y=1\\ x+4\left(m+1\right)y=4m\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=mx-1\\ x+4\left(m+1\right)\left(mx-1\right)=4m\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y=mx-1\\ x+\left(4m+4\right)\left(mx-1\right)=4m\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=mx-1\\ x+4m^2x-4m+4mx-4=4m\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y=mx-1\\ x\left(4m^2+4m+1\right)=4m+4m+4\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=mx-1\\ x\left(2m+1\right)^2=8m+4=4\left(2m+1\right)\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x=\frac{4}{2m+1}\\ y=mx-1=\frac{4m}{2m+1}-1=\frac{4m-2m-1}{2m+1}=\frac{2m-1}{2m+1}\end{cases}\)

Để x,y nguyên thì 4⋮2m+1 và 2m-1⋮2m+1

=>4⋮2m+1 và 2m+1-2⋮2m+1

=>4⋮2m+1 và -2⋮2m+1

=>2m+1∈Ư(2)

mà 2m+1 lẻ

nên 2m+1∈{1;-1}

=>2m∈{0;-2}

=>m∈{0;-1}

b: Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\frac{m+1}{2}<>\frac{3m+1}{m+2}\)

=>\(\left(m+1\right)\left(m+2\right)<>2\left(3m+1\right)\)

=>\(m^2+3m+2-6m-2<>0\)

=>\(m^2-3m<>0\)

=>m(m-3)<>0

=>m∉{0;3}

\(\begin{cases}\left(m+1\right)x+\left(3m+1\right)y=2-m\\ 2x+\left(m+2\right)y=4\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\left(2m+2\right)x+\left(6m+2\right)y=4-2m\\ \left(2m+2\right)x+\left(m+2\right)\left(m+1\right)y=4\left(m+1\right)\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x\left(2m+2\right)+y\left(m^2+3m+2\right)-\left(2m+2\right)x-\left(6m+2\right)y=4\left(m+1\right)-4+2m\\ 2x+\left(m+2\right)y=4\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y\left(m^2-3m\right)=6m\\ 2x+\left(m+2\right)y=4\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=\frac{6}{m-3}\\ 2x=4-\left(m+2\right)\cdot y=4-\frac{6\left(m+2\right)}{m-3}=\frac{4m-12-6m-12}{m-3}=\frac{-2m-24}{m-3}\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y=\frac{6}{m-3}\\ x=\frac{-m-12}{m-3}\end{cases}\)

Để x,y nguyên thì 6⋮m-3 và -m-12⋮m-3

=>6⋮m-3 và -m+3-15⋮m-3

=>6⋮m-3 và -15⋮m-3

=>m-3∈ƯC(6;-15)

=>m-3∈Ư(3)

=>m-3∈{1;-1;3;-3}

=>m∈{4;2;6;0}

mà m∉{0;3}

nên m∈{2;4;6}