Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) VD: \(a=4;b=5\) có \(a^2+b^2=4^2+5^2=16+25=41\) là số nguyên tố
Mà \(a+b=4+5=9\) là hợp số
\(\Rightarrow\)Mệnh đề " Nếu \(a^2+b^2\) là số nguyên tố thì \(a+b\)cũng là số nguyên tố " sai
b) Ta có : \(a^2-b^2=\left(a^2-ab\right)+\left(ab-b^2\right)\)
\(\Rightarrow a^2-b^2=a\left(a-b\right)+b\left(a-b\right)\)
\(\Rightarrow a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)
+) Nếu \(a-b>1\)
\(\Rightarrow a^2-b^2⋮\left(a+b\right)\) và \(a^2-b^2⋮\left(a-b\right)\)
\(\Rightarrow a^2-b^2\) là hợp số
\(\Rightarrow\)Mâu thuẫn
\(\Rightarrow a-b=1\)
\(\Rightarrow a^2-b^2=a+b\)
Mà \(a^2-b^2\) là số nguyên tố
\(\Rightarrow a+b\) là số nguyên tố
\(\Rightarrow\) Mệnh đề : " Nếu \(a>b\) và \(a^2-b^2\)là số nguyên tố thì \(a+b\) cũng là số nguyên tố " đúng
Số p có một trong ba dạng : 3k ; 3k + 1 ; 3k + 2 với k thuộc N*
Nếu p = 3k thì p = 3 ( vì p là số nguyên tố ), khi đó p + 2 = 5 ; p + 4 = 7 đều là các số nguyên tố.
Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 2 là hợp số
Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 4 là hợp số.
=> p = 3
vì các số nguyên tố đều là số lẻ (có số 2 là chẵn nhưng ở đây không làm cững biết là không thỏa mãn với yêu cầu đề bài rồi ) ta xét số 3
3+2=5 (là 1 số nguyên tố)
3+4=7(là 1 số nguyên tố)
vậy p=3
Ta phải tìm số nguyên dương n để A là số nguyên tố.Với :
A=n^2/60-n=60^2-(60^2-n^2)/60-n=-(60^2-n^2)/60-n+60^2/60-n=-(60+n)+3600/60+n
Muốn A là số nguyên tố trước hết A là số nguyên.Như vậy (60-n) là ước nguyên dương của 3600,suy ra n<60 và 3600:(60-n) phải lớn hơn 60+n, đồng thời thỏa mãn A là số nguyên tố.Ta kiểm tra lần lượt các giá trị của n là ước của 60:
Trường hợp 1:n=30 => Ta có A=-90+3600:30=30 không là số nguyên tố => loại
Trường hợp 2:n=15 => Ta có A=-75+3600:45=5 là số nguyên tố => chọn
Trường hợp 3:n=12 => Ta có A=-72+3600:48=3 là số nguyên tố => chọn
Trường hợp 4: n=6,n=5,n=3,n=2 thì A không là số nguyên => loại. Suy ra:n=1 thì A âm => loại
Vậy n=12 và n=15
Em làm chưa chắc đúng nha, chị thông cảm.
Ok, ta cùng giải bài toán này nhé:
Đề: Tìm các số nguyên tố \(p , q\) sao cho cả \(p + q\) và \(p q + 11\) đều là số nguyên tố.
Bước 1. Giả sử \(p \leq q\).
- \(p + q\) phải là số nguyên tố.
Nếu \(p , q > 2\) thì \(p + q\) chẵn (tổng của hai số lẻ), mà số nguyên tố chẵn duy nhất là \(2\).
→ Khi đó \(p + q = 2 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } p = q = 1\), không phải số nguyên tố.
⟹ Trường hợp này loại.
👉 Vậy phải có một trong hai số bằng 2.
Bước 2. Trường hợp \(p = 2\).
Khi đó:
\(p + q = 2 + q \text{ph}ả\text{i}\&\text{nbsp};\text{nguy} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} .\)
Rõ ràng với mọi \(q\) nguyên tố, \(2 + q\) sẽ là số nguyên tố (trừ khi nó ra số chẵn > 2).
Xét điều kiện còn lại:
\(p q + 11 = 2 q + 11 \text{ph}ả\text{i}\&\text{nbsp};\text{nguy} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} .\)
- Nếu \(q = 2\): \(p + q = 4\) không nguyên tố ⟹ loại.
- Nếu \(q = 3\): \(p + q = 5\) nguyên tố, và \(2 \cdot 3 + 11 = 17\) nguyên tố ⟹ (p,q)=(2,3) thỏa mãn.
- Nếu \(q = 5\): \(p + q = 7\) nguyên tố, nhưng \(2 \cdot 5 + 11 = 21\) không nguyên tố ⟹ loại.
- Nếu \(q = 7\): \(p + q = 9\) không nguyên tố ⟹ loại.
- Nếu \(q = 11\): \(p + q = 13\) nguyên tố, nhưng \(2 \cdot 11 + 11 = 33\) không nguyên tố ⟹ loại.
- Nếu \(q = 13\): \(p + q = 15\) không nguyên tố ⟹ loại.
- Nếu \(q = 17\): \(p + q = 19\) nguyên tố, nhưng \(2 \cdot 17 + 11 = 45\) không nguyên tố ⟹ loại.
Thử thêm vài giá trị lớn hơn: \(2 q + 11\) thường ra số chẵn hoặc hợp số, rất khó nguyên tố.
Bước 3. Trường hợp \(q = 2\).
Hoàn toàn tương tự (do đối xứng \(p , q\)).
- Nếu \(p = 3\): \(p + q = 5\) nguyên tố, \(3 \cdot 2 + 11 = 17\) nguyên tố ⟹ (p,q)=(3,2) cũng thỏa.
✅ Kết luận:
Các nghiệm duy nhất là:
\(\left(\right. p , q \left.\right) = \left(\right. 2 , 3 \left.\right) \text{ho}ặ\text{c} \left(\right. 3 , 2 \left.\right) .\)
Vì p,q đều là số nguyên tố mà p-q cũng là số nguyên tố nên p và q khác tính chẵn lẻ.
Suy ra: q=2 (Vì p>q; p, q đều lad số nguyên tố)
+, Nếu p=3 : Thỏa mãn.
+, Nếu p>3 : Xét 2 TH: p=3k+1 (k thuộc N*) hoặc p=3k+2(k thuộc N*)
-p=3k+1 => p+q=3k+1+2=3k+3 là hợp số
-p=3k+2 : Tương tự có p-q là hợp số.
Vậy q=2, p=3.
3-2=1 => p-q đâu là số nguyên tố ?
q=3k+2 nên q+p=3k+4; q-p=3k. Vì q-p là số nguyên tố nên k=1. do đó q=5