a,Ý 1:\(14^{14^{14}}=7^{14^{14}}.2^{14^{14}}\)

Dễ chứng minh \(14^{14}⋮4\) và \(14^{14}\) chia 20 dư 16 nên đặt \(14^{14}=4k=20l+16\)

Ta có:\(14^{14^{14}}=7^{4k}.2^{20l+16}=\left(7^4\right)^k.\left(2^{20}\right)^l.2^{16}\)\(=2401^k.1048576^l.65536\)

\(\equiv\left(01\right)^k.\left(76\right)^l.36=01.76.36=2736\equiv36\)(mod 100)

Ý 2:Để ý:\(5^7\equiv5\)(mod 180).Từ đó chứng minh được :\(5^{121}=5^{98}.5^{23}\equiv25.5^5=1625\equiv5\)(mod 180)
Đặt:\(5^{121}=180m+5\).Khi đó:\(17^{5^{121}}=17^{180m+5}=\left(17^{180}\right)^m.17^5\equiv\left(01\right)^m.57=01.57=57\)(mod 100)
Có được :\(17^{180}\equiv01\)(mod 100) là do:\(17^3\equiv13\)(mod 100)  mà \(13^6\equiv9\) nên \(17^{18}\equiv13^6\equiv9\)(mod 100)
Lại có:\(9^{10}\equiv01\)(mod 100) \(\Rightarrow17^{180}\equiv9^{10}\equiv01\)(mod 100)

b,Ta có:\(2^{20}=16^5\equiv76\)(mod 100) nên \(2^{2000}=\left(2^{20}\right)^{100}\equiv76^{100}\equiv76\)(mod 100)
\(\Rightarrow2^{2006}=2^{2000}.2^6\equiv76.64=4864\equiv64\)(mod 100)
Đặt \(2^{2006}=100t+64\) ta được \(3^{2^{2006}}=3^{100t+64}=\left(3^{100}\right)^t.3^{64}\equiv\left(001\right)^t.3^{64}=3^{64}\)(mod 1000)
Lại có:\(3^{10}\equiv49\)(mod 1000)\(\Rightarrow3^{60}=\left(3^{10}\right)^6\equiv49^6\equiv201\)(mod 1000)
\(\Rightarrow3^{64}=3^{60}.81\equiv81.201=16281\equiv281\)( mod 1000)

Giải

2²⁰⁰³ = 2003 lần chữ số 2 nhân lại.

Vì 2 × 2 × 2 × 2 = 16 (tận cùng là 6)

Mà 6 × 6 × 6 × ... = X (tận cùng là sáu vì 6 × 6 = 36)

Bốn số 2 nhân lại mới được 6 vậy có tổng cộng 2003 số 2 chia 4, tức là thế này:

(2 × 2 × 2 × 2) × (...) × ... = X  (có 2003 chữ số 2)

Có tổng cộng 2003 ÷ 4 = 500 (cặp) và dư lại 3 số 2.

Vậy chữ số tận cùng là 6 × ba số hai

=> 6 × 2 × 2 × 2 = 48 (tận cùng là 8)

Vậy bạn Hùng sai !

Ghi chú: thật ra em mới học lớp 5 và biết một tí về toán lớp 6 nên bài này em làm được! 

Bạn Hùng giải sai vì :

(2⁹)¹⁷ . 2 = 2¹⁵³ . 2 = 2¹⁵⁴ \(\ne\)2¹⁵⁵

đơn giản vì nó ko phải số nguyên tố

hãy đổi các lũy thừa và xét từng số một trong biểu thức để xem nó có phải là hợp số hay không và kết luận

Vì số 6 lũy thừa lên đều có kết quả có chữ số tận cùng là 6 nên ta có: 6^7^8^9 có chữ số tận cùng là 6

Ta có:

Quy luật của dãy số \(7,19,31,...1999\) là mỗi số cách nhau \(12\) đơn vị

Chữ số tận cùng của tích \(7\cdot19\cdot31\cdot...\cdot1999\) cũng là chữ số tận cùng của tích \(7\cdot9\cdot1\cdot...9\)

Áp dụng quy luật của dãy số thì ta cần tìm chữ số tận cùng của tích \(7\cdot9\cdot1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9\cdot1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9\cdot...\cdot9\)

Mà chữ số tận cùng của tích \(7\cdot9\cdot1\cdot3\) là 9 mà 9 nhân cho số lẻ thì có kết quả là số có chữ số tận cùng là 5 (dãy \(5\cdot7\cdot9\cdot1\cdot3\cdot...\cdot9\))

\(\Rightarrow\) Chữ số tận cùng của tích \(7\cdot19\cdot31\cdot...\cdot1999\) là 5

Chữ số tận cùng thứ nhì thì khó quá, mình không tìm ra cách giải nhưng mình tính thủ công bằng máy tính thì khi nhân tới thừa số thứ 10 trở đi thì chữ số tận cùng thứ nhì luôn bằng 7.

\(\Rightarrow\) Hai chữ số tận cùng của tích \(7\cdot19\cdot31\cdot...\cdot1999\) là 75

Sử dụng phép  đồng dư nhá bạn.

\(7\equiv7\)(mod 100)

\(7^3\equiv43\)(mod 10)

\(7^4=1\)(mod 10)

\(\left(7^4\right)^{10}\equiv1^{10}=1\) (mod 10)

\(7^{40}.7^3\equiv1.43\equiv43\)  (mod10)

Vậy .....................................

ta có: 7^34=7^4.10+3=7^4.10 .7^3=(7^4)^10 .7^3=2401^10 .343=...01.343=...43

=> dpcm