Lời giải:

Khai triển ta có:

\(M=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(1=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}\)

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

\(M=\left(x^2y^2+\frac{1}{16^2x^2y^2}\right)+\frac{255}{256x^2y^2}+2\geq 2\sqrt{\frac{1}{16^2}}+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)

\(\Leftrightarrow M\geq \frac{17}{8}+\frac{255}{256x^2y^2}\) . Mà \(xy\leq \frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow M\geq \frac{17}{8}+\frac{255}{256x^2y^2}\geq \frac{17}{8}+\frac{255}{256.\frac{1}{16}}=\frac{289}{16}\)

Vậy \(M_{\min}=\frac{289}{16}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Akai haruma giải dùm mình 5 bài mới đăng đi

C3 : Ta có ; \(B=\sqrt{x-4}+\sqrt{y-3}\) . Nhận xét : \(B\ge0\)

• Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki : \(B^2=\left(1.\sqrt{x-4}+1.\sqrt{y-3}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x-4+y-3\right)\)

\(\Rightarrow B^2\le16\Rightarrow B\le4\). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x\ge4,y\ge3\\\sqrt{x-4}=\sqrt{y-3}\\x+y=15\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=8\\y=7\end{cases}}\)

Vậy B đạt giá trị lớn nhất bằng 4 tại (x;y) = (8;7)

Tìm GTNN và mấy bài tới để từ từ mình làm cho nhé , tại mạng đang chậm...

C4 : Bạn cần thêm điều kiện x là số dương nhé : )

Ta có ; \(A=\frac{2x^2-6x+5}{2x}=x+\frac{5}{2x}-3\). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : 

\(x+\frac{5}{2x}\ge2\sqrt{x.\frac{5}{2x}}=\sqrt{10}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{5}{2x}\Leftrightarrow\sqrt{\frac{5}{2}}\)

Vậy Min A = \(\sqrt{10}-3\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{5}{2}}\)

C5 : Bạn cần thêm điều kiện a,b là hằng số nhé :) 

\(P=\frac{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}{x}=\frac{x^2+ax+bx+ab}{x}=x+\frac{ab}{x}+a+b\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : \(x+\frac{ab}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{ab}{x}}=2\sqrt{ab}\Rightarrow P\ge a+2\sqrt{ab}+b=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x^2=ab\Leftrightarrow x=ab\) (vì a,b,x > 0)

Vậy .......

Gọi M là giao điểm (d1); (d2)

Hoành độ M thỏa mãn:

\(2x-5=x+2\Leftrightarrow x=7\Rightarrow y=9\)

\(\Rightarrow M\left(7;9\right)\)

Để 3 đường thẳng đồng quy khi và chỉ khi (d3) cũng đi qua M

\(\Leftrightarrow9=7a-12\Rightarrow a=3\)

\(M=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2+y^2+\dfrac{1}{y^2}+2=x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+4\)

ta có \(x+y=1\Rightarrow x^2+y^2=1-2xy\) theo BĐT Cô si: \(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow2xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\Rightarrow1-2xy\ge1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge\dfrac{1}{2}\)

Áp dụng tiếp BĐT Cô Si :\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{2}{xy}\ge\dfrac{2}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{4}}=8\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+4\ge\dfrac{1}{2}+8+4=\dfrac{25}{2}\)

dấu = xảy ra tại \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

camon

Bài 35:

(d₃) cắt (d₁) và (d₂)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1\ne2\\m+1\ne-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m\ne-5\end{matrix}\right.\)

Hoành độ của I là nghiệm của phương trình:

\(2x+5=-4x-1\Leftrightarrow x=-1\)

Thay \(x=-1\) vào phương trình đường thẳng (d₁) có:

\(y=-2+5\Leftrightarrow y=3\)

Do đó toạ độ của điểm I là \(\left(-1;3\right)\)

Thay \(x=-1,y=3\) vào phương trình đường thẳng (d₃) có:

\(3=-m-1+2m-1\Leftrightarrow m=5\)

Vậy \(m=5\) là giá trị cần tìm

Giúp mình bài 36 luôn đi

a/ ĐKXĐ : \(x\ge0;x\ne1\)

\(P=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}\right):\frac{2}{x^2-2x+1}\)

\(=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\right):\frac{2}{\left(x-1\right)^2}\)

\(=\left(\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)}\right).\frac{\left(x-1\right)^2}{2}\)

\(=\frac{x-2\sqrt{x}+\sqrt{x}-2-x+\sqrt{x}-2\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)}.\frac{\left(x-1\right)^2}{2}\)

\(=\frac{-2\sqrt{x}}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}.\frac{\left(x-1\right)^2}{2}\)

\(=\frac{-2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-1\right)}{2\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=-\sqrt{x}\left(x-1\right)\)

Vậy...

b/ Ta có :

\(P>0\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{x}\left(x-1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(x-1\right)< 0\)

Mà \(\sqrt{x}\ge0\)

\(\Leftrightarrow x-1< 0\Leftrightarrow x< 1\)

Kết hợp ĐKXĐ

Vậy \(0< x< 1\) thì P > 0

c/ Ta có :

\(x=7-4\sqrt{3}=\left(2-\sqrt{3}\right)^2\) thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\left|2-\sqrt{3}\right|=2-\sqrt{3}\)

Thay vào P rồi bạn tự tính ra nhé :>