24.

\(cos\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)\le1\Rightarrow y\le3.1+1=4\)

\(y_{max}=4\)

26.

\(y=\sqrt{2}cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)\)

Do \(cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)\le1\Rightarrow y\le\sqrt{2}\)

\(y_{max}=\sqrt{2}\)

b.

\(\dfrac{1}{2}sinx+\dfrac{\sqrt{3}}{2}cosx=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\x-\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

a: \(5-2\cdot cos^2x\cdot\sin^2x\)

\(=5-2\cdot\left(\sin x\cdot cosx\right)^2\)

\(=5-2\cdot\left(\frac12\cdot\sin2x\right)^2=5-2\cdot\frac14\cdot\sin^22x=-\frac12\cdot\sin^22x+5\)

Ta có: \(0\le\sin^22x\le1\)

=>\(-\frac12\le-\frac12\cdot\sin^22x\le0\)

=>\(-\frac12+5\le-\frac12\cdot\sin^22x+5\le0+5\)

=>\(\frac92\le-\frac12\cdot\sin^22x+5\le5\)

=>\(\frac{3\sqrt2}{2}\le\sqrt{-\frac12\cdot\sin^22x+5}\le\sqrt5\)

=>\(4:\frac{3\sqrt2}{2}\ge\frac{4}{\sqrt{-\frac12\cdot sin^22x+5}}\ge\frac{4}{\sqrt5}\)

=>\(\frac{2\sqrt2}{3}\ge y\ge\frac{4\sqrt5}{5}\)

Do đó: \(y_{\max}=\frac{2\sqrt2}{3}\) khi \(\sin^22x=1\)

=>\(cos^22x=0\)

=>cos2x=0

=>\(2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)

=>\(x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\)

\(y_{\min}=\frac{4\sqrt5}{5}\) khi \(\sin^22x=0\)

=>sin 2x=0

=>\(2x=k\pi\)

=>\(x=\frac{k\pi}{2}\)

b: \(f\left(x\right)=3\cdot\sin^2x+5\cdot cos^2x-4\cdot cos2x-2\)

\(=3\cdot\sin^2x+5\cdot cos^2x-4\left(cos^2x-\sin^2x\right)-2\)

\(=3\cdot\sin^2x+5\cdot cos^2x-4\cdot cos^2x+4\cdot\sin^2x-2\)

\(=7\cdot\sin^2x+cos^2x-2=7\cdot\sin^2x+1-\sin^2x-2=6\cdot\sin^2x-1\)

Ta có: \(0\le\sin^2x\le1\)

=>\(0\le6\sin^2x\le6\)

=>\(0-1\le6\sin^2x-1\le6-1\)

=>-1<=f(x)<=5

f(x) min=-1 khi \(\sin^2x=0\)

=>sin x=0

=>\(x=k\pi\)

f(x) max=5 khi \(\sin^2x=1\)

=>\(cos^2x=0\)

=>cosx=0

=>\(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)

a.

Tìm min:

$y=(4\sin ^2x-4\sin x+1)+2=(2\sin x-1)^2+2$
Vì $(2\sin x-1)^2\geq 0$ với mọi $x$ nên $y=(2\sin x-1)^2+2\geq 0+2=2$

Vậy $y_{\min}=2$

----------------

Mặt khác: 

$y=4\sin x(\sin x+1)-8(\sin x+1)+11$

$=(\sin x+1)(4\sin x-8)+11$

$=4(\sin x+1)(\sin x-2)+11$

Vì $\sin x\in [-1;1]\Rightarrow \sin x+1\geq 0; \sin x-2<0$

$\Rightarrow 4(\sin x+1)(\sin x-2)\leq 0$

$\Rightarrow y=4(\sin x+1)(\sin x-2)+11\leq 11$

Vậy $y_{\max}=11$

b.

$y=\cos ^2x+2\sin x+2=1-\sin ^2x+2\sin x+2$

$=3-\sin ^2x+2\sin x$
$=4-(\sin ^2x-2\sin x+1)=4-(\sin x-1)^2\leq 4-0=4$

Vậy $y_{\max}=4$.

---------------------------

Mặt khác:

$y=3-\sin ^2x+2\sin x = (1-\sin ^2x)+(2+2\sin x)$

$=(1-\sin x)(1+\sin x)+2(1+\sin x)=(1+\sin x)(1-\sin x+2)$

$=(1+\sin x)(3-\sin x)$

Vì $\sin x\in [-1;1]$ nên $1+\sin x\geq 0; 3-\sin x>0$

$\Rightarrow y=(1+\sin x)(3-\sin x)\geq 0$

Vậy $y_{\min}=0$

a.

\(y=\dfrac{3}{2}sin2x-2\left(cos^2x-sin^2x\right)+5=\dfrac{3}{2}sin2x-2cos2x+5\)

\(=\dfrac{5}{2}\left(\dfrac{3}{5}sin2x-\dfrac{4}{5}cos2x\right)+5=\dfrac{5}{2}sin\left(2x-a\right)+5\) (với \(cosa=\dfrac{3}{5}\))

\(\Rightarrow-\dfrac{5}{2}+5\le y\le\dfrac{5}{2}+5\)

b.

\(\Leftrightarrow y.sinx-2y.cosx+4y=3sinx-cosx+1\)

\(\Leftrightarrow\left(y-3\right)sinx+\left(1-2y\right)cosx=1-4y\)

Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất:

\(\left(y-3\right)^2+\left(1-2y\right)^2\ge\left(1-4y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow11y^2+2y-9\le0\)

\(\Leftrightarrow-1\le y\le\dfrac{9}{11}\)

c.

Do \(x^2+y^2=1\Rightarrow\) đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=sina\\y=cosa\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y=\dfrac{2\left(sin^2a+6sina.cosa\right)}{1+2sina.cosa+cos^2a}=\dfrac{1-cos2a+6sin2a}{1+sin2a+\dfrac{1+cos2a}{2}}=\dfrac{2-2cos2a+12sin2a}{3+2sin2a+cos2a}\)

\(\Leftrightarrow3y+2y.sin2a+y.cos2a=2-2cos2a+12sin2a\)

\(\Leftrightarrow\left(2y-12\right)sin2a+\left(y+2\right)cos2a=2-3y\)

Theo điều kiện có nghiệm của pt bậc nhất theo sin2a, cos2a:

\(\left(2y-12\right)^2+\left(y+2\right)^2\ge\left(2-3y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow y^2+8y-36\le0\)

\(\Rightarrow-4-2\sqrt{13}\le y\le-4+2\sqrt{13}\)

a) Dễ thấy cosx = 0 không thỏa mãn phương trình đã cho nên chiaw phương trình cho cos²x ta được phương trình tương đương 2tan²x + tanx - 3 = 0.

Đặt t = tanx thì phương trình này trở thành

2t² + t - 3 = 0 ⇔ t ∈ {1 ; }.

Vậy

b) Thay 2 = 2(sin²x + cos²x), phương trình đã cho trở thành

3sin²x - 4sinxcosx + 5cos²x = 2sin²x + 2cos²x

⇔ sin²x - 4sinxcosx + 3cos²x = 0

⇔ tan²x - 4tanx + 3 = 0

⇔

⇔ x = + kπ ; x = arctan3 + kπ, k ∈ Z.

c) Thay sin2x = 2sinxcosx ; = (sin²x + cos²x) vào phương trình đã cho và rút gọn ta được phương trình tương đương

sin²x + 2sinxcosx - cos²x = 0 ⇔ tan²x + 4tanx - 5 = 0 ⇔

⇔ x = + kπ ; x = arctan(-5) + kπ, k ∈ Z.

d) 2cos²x - 3√3sin2x - 4sin²x = -4

⇔ 2cos²x - 3√3sin2x + 4 - 4sin²x = 0

⇔ 6cos²x - 6√3sinxcosx = 0 ⇔ cosx(cosx - √3sinx) = 0

⇔

a.

\(-1\le sin\left(1-x^2\right)\le1\)

\(\Rightarrow y_{min}=-1\) khi \(1-x^2=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\) \(\Rightarrow x^2=\dfrac{\pi}{2}+1+k2\pi\) (\(k\ge0\))

\(y_{max}=1\) khi \(1-x^2=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\Rightarrow x^2=1-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\) (\(k\ge1\))

b.

Đặt \(\sqrt{2-x^2}=t\Rightarrow t\in\left[0;\sqrt{2}\right]\subset\left[0;\pi\right]\)

\(y=cost\) nghịch biến trên \(\left[0;\pi\right]\Rightarrow\) nghịch biến trên \(\left[0;\sqrt{2}\right]\)

\(\Rightarrow y_{max}=y\left(0\right)=cos0=1\) khi \(x^2=2\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}\)

\(y_{min}=y\left(\sqrt{2}\right)=cos\sqrt{2}\) khi  \(x=0\)