\(M=\frac{6}{\left(4x^6-8x^3+4\right)+\left(16x^6+40x^3y+25y^2\right)-9}\)

\(M=\frac{6}{\left(2x^3-2\right)^2+\left(4x^3+5y\right)^2-9}\)

Biểu thức này chỉ tồn tại GTNN, không tồn tại GTLN

Sửa: \(M=\frac{6}{20x^6-\left(8-40y\right)x^2+25y^2-5}\)

Đặt \(N=20x^6-\left(8-40y\right)x^2+25y^2+5\)

\(=20\left[x^6-2x^3\frac{1-5y}{5}+\left(\frac{1-5y}{5}\right)^2\right]+25y^2-20\left(\frac{1-5y}{5}\right)^2=5\)

\(=20\left(x^3-\frac{1-5y}{5}\right)^2+25y^2-\frac{4}{5}+8y-20y^2+5=20\left(x^3-\frac{1-5y}{2}\right)^2+5\left(y+\frac{4}{5}\right)^2+1\ge1\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}y=\frac{-4}{5}\\x=1\end{cases}\Rightarrow M=\frac{6}{N}\le\frac{6}{1}=6}\)

Vậy Max M=6 đạt được khi x=1; y=^-4/₅

UCT mở rộng: ta sẽ đi tìm m;n sao cho: \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le ma+nb\)

\(\Leftrightarrow a^3+ma^2b+\left(3m+n\right)ab^2+\left(3n-5\right)b^3\ge0\) (1)

\(\Leftrightarrow x^3+m.x^2+\left(3m+n\right)x+\left(3n-5\right)\ge0\) với \(x=\frac{a}{b}\)

Dự đoán rằng sẽ phân tích về dạng \(\left(a-b\right)^2.P\left(a;b\right)\) hay \(\left(x-1\right)^2P\left(x\right)\)

Do đó (1) phải có nghiệm \(x=1\)

\(\Rightarrow4m+4n-4=0\Rightarrow n=1-m\)

Thay vào: \(x^3+mx^2+\left(2m+1\right)x-3m-2\ge0\)

Hoocne hạ bậc: \(\left(x-1\right)\left(x^2+\left(m+1\right)x+3m+2\right)\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+\left(m+1\right)x+3m+2\) cũng có 1 nghiệm \(x=1\)

\(\Rightarrow4m+4=0\Rightarrow m=-1\Rightarrow n=2\)

Đặt \(\left(x;2y;3z\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a+b+c=6\)

\(P=\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}+\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\)

Ta có đánh giá: \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\)

Thật vậy, BĐT tương đương: \(5b^3-a^3\le\left(2b-a\right)\left(ab+3b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3-a^2b-ab^2+b^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng)

Tương tự: \(\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}\le2c-b\) ; \(\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le2a-c\)

Cộng vế với vế: \(P\le a+b+c=6\)

\(P_{max}=6\) khi \(a=b=c=2\) hay \(\left(x;y;z\right)=\left(2;1;\frac{2}{3}\right)\)

1.(√x -2)^2 ≥ 0 --> x -4√x +4 ≥ 0 --> x+16 ≥ 12 +4√x --> (x+16)/(3+√x) ≥4 
--> Pmin=4 khi x=4

2. Đặt \(\sqrt{x^2-4x+5}=t\ge1\)1

=> M=2x²-8x+\(\sqrt{x^2-4x+5}\)+6=2(t²-5)+t+6

<=> M=2t²+t-4\(\ge\)2.1²+1-4=-1

M_min=-1 khi t=1 hay x=2

Em làm bài 2 nha!

\(A=\frac{3-4x}{x^2+1}\Leftrightarrow Ax^2+4x+A-3=0\) (1)

+)\(A=0\Rightarrow x=\frac{3}{4}\)

+) A khác 0 thì (1) là pt bậc 2.

\(\Delta'=\left(2\right)^2-A\left(A-3\right)\ge0\Leftrightarrow4-A^2+3A\ge0\Leftrightarrow-1\le A\le4\)

Vậy...

Bài 1: (bài nào nghĩ ra thì em làm trước)

C = \(\frac{2x^2-6x+5}{\left(x-1\right)^2}\). Đặt x - 1 = y >0 thì x = y + 1 >1

Khi đó \(C=\frac{2\left(y+1\right)^2-6\left(y+1\right)+5}{y^2}=\frac{2y^2-2y+1}{y^2}\)

\(=\frac{1}{y^2}-\frac{2}{y}+2\). đặt \(\frac{1}{y}=t>0\). \(C=t^2-2t+2=\left(t-1\right)^2+1\ge1\)

Đẳng thức xảy ra khi t = 1 suy ra y = 1 suy ra x = 2

Vậy Min C = 1 khi x = 2