Ta có:

|x−2015|+|x−2016|+|x−2017||x−2015|+|x−2016|+|x−2017|

=|x−2016|+|x−2015|+|x−2017|=|x−2016|+|x−2015|+|x−2017|

=|x−2016|+(|x−2015|+|x−2017|)=|x−2016|+(|x−2015|+|x−2017|)

∗)∗) Áp dụng BĐT |a|+|b|≥|a+b||a|+|b|≥|a+b| ta có:

|x−2015|+|x−2017|=|x−2015|+|x−2017|= |x−2015|+|2017−x||x−2015|+|2017−x|

≥|x−2015+2017−x|=|2|=2≥|x−2015+2017−x|=|2|=2

∗)∗) Dễ thấy: |x−2016|≥0∀x|x−2016|≥0∀x

⇔|x−2015|+|x−2016|+|x−2017|⇔|x−2015|+|x−2016|+|x−2017| ≥2≥2

Đẳng thức xảy ra ⇔⎧⎩⎨⎪⎪x−2015≥0x−2016=0x−2017≤0⇔⎧⎩⎨⎪⎪x≥2015x=2016x≤2017⇔{x−2015≥0x−2016=0x−2017≤0⇔{x≥2015x=2016x≤2017 ⇔x=2016⇔x=2016

Vậy GTNNGTNN của biểu thức là 2⇔x=2016

P= |x-2015|+|2016-x| +|x-2017|

=> P = |x-2015|+|x-2016| +|2017-x|

Ta có\(\left|x-2015\right|\ge x-2015\)(với mọi x)

        \(\left|x-2016\right|\ge x-2016\)(với mọi x)

        \(\left|x-2017\right|\ge x-2017\)(với mọi x)

\(\Rightarrow\left|x-2015\right|+\left|x-2016\right|+\left|x-2017\right|\ge x-2015+0+x-2017\)(với mọi x)

\(\Rightarrow P\ge2\)(với mọi x)

=> P đạt GTNN là 2 khi 

\(\hept{\begin{cases}\left|x-2015\right|=0\\\left|x-2016\right|=0\\\left|x-2017\right|=0\end{cases}\hept{\begin{cases}x-2015\ge0\\x-2016=0\\x-2017\ge0\end{cases}\hept{\begin{cases}x\ge2015\\x=2016\\x\ge2017\end{cases}\Rightarrow}}x=2016}\)

Vậy GTNN của P là 2 tại x = 2016 

<br class="Apple-interchange-newline"><div id="inner-editor"></div>Đặt A=|x-2015|+|x-2016|+|x-2017|

=>A=|x-2015|+|x-2016|+|x-2017|

≥x - 2015 (với mọi x)

         |x-2016| ≥0 (với mọi x)

         |2017-x| ≥ 2017 - x (với mọi x)
=> |x-2015|+|x-2016| +|2017-x| ≥(x - 2015) + 0 + (2017 - x) (với mọi x)
=> A ≥2 (với mọi x)
=> A đạt GTNN là 2 khi

 {

⇔{

⇔{

⇒x=2016
Vậy GTNN của A là 2 tại x = 2016

ta thấy |x-2015| >=0 với mọi x thuộc R

|x-2016| >=0 với mọi x thuộc R

|x-2017|>=0 với mọi x thuộc R

Ta đi xét 3 trường hợp sau:

TH1: |x-2015|=0 <=> x=2015 => P=3 (1)

TH2:|x-2016|=0<=> x=2016 => P= 2 (2)

TH3:|x-2017|=0<=>x=2017=> P=3 (3)

từ (1) (2) và(3) => Pmin=2