P= \(1-cos^2x+2cos^2x=1+cos^2x\)

Ta có:

\(0\le cos^2x\le1\)

=> \(1\le P\le2\)

min P=1 <=> \(cos^2x=0\Leftrightarrow cosx=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)

Ta có:  P = x 2 + 2 x + 5 2 x + 1 = x + 1 2 + 4 2 x + 1 = x + 1 2 + 2 x + 1

Vì  x ≥ 0 ⇒ x + 1 > 0 ⇒ x + 1 2 > 0 ;   2 x + 1 > 0

Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho 2 số dương

x + 1 2 ; 2 x + 1 : x + 1 2 + 2 x + 1 ≥ 2 . x + 1 2 . 2 x + 1 = 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 khi x = 1.

*Tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\begin{cases} x + y \ge 3 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ 2x + y \le 6 \end{cases}\) (*)

THay x=1 và y=1 vào x+y>=3, ta được:

1+1>=3

=>2>=3(sai)

=>Miền nghiệm của bất phương trình x+y>=3 là nửa mặt phẳng có chứa biên và không chứa điểm M(1;1) của đường thẳng x+y=3(1)

x>=0 nên miền nghiệm của bất phương trình x>=0 là nửa phần bên phải có chứa biên của đường thẳng Oy(2)

y>=0 nên miền nghiệm của bất phương trình y>=0 là nửa phần bên trên có chứa biên của đường thẳng Ox(3)

THay x=1 và y=1 vào 2x+y<=6, ta được:

2*1+1<=6

=>3<=6(đúng)

=>miền nghiệm của bất phương trình 2x+y<=6 là nửa mặt phẳng có chứa biên và có chứa điểm M(1;1) của đường thẳng 2x+y=6(4)

Từ (1),(2),(3),(4) suy ra miền nghiệm của (*) là:

=>Miền nghiệm của hệ (*) là ΔABC, với A là giao điểm của x+y=3 và x=0; B là giao điểm của 2x+y=6 và x=0; C là giao điểm của x+y=3 và 2x+y=6

=>A(0;3); B(0;6); C(3;0)

Khi x=0 và y=3 thì F=5*0-6*3+2021=2003

Khi x=0 và y=6 thì F=5*0-6*6+2021=2021-36=1985

Khi x=3 và y=0 thì F=5*3-6*0+2021=2021+15=2036

=>F min=1985 khi x=0; y=6

F max=2036 khi x=3; y=0

H = x(x+1)(x+2)(x+3)

=x(x+3)(x+1)(x+2)

=(x²+3x)(x²+3x+2)

Đặt t=x²+3x ta có:

t(t+2)=t²-2t+1-1=(t-1)²-1\(\ge1\)

Dấu = khi \(t=1\Rightarrow x^2+3x=1\Rightarrow\)\(x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}\)

Ta có: H = x(x+3)(x+1)(x+2) H = (x²+ 3x)(x² + 3x +2) H = (x²+3x)² + 2(x²+3x) H = (x²+3x)² + 2(x²+3x)+1 – 1 H = (x² + 3x +1)² – 1 ⇔H ≥ - 1 , Dấu ‘ = ’ xảy ra khi x² + 3x +1 = 0 ⇔x =-3+căn5 chia 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của H là -1 khi x =-3+căn5 chia 2